2020高考数学理科大一轮复习导学案《函数及其表示》含答案

?1?3??＝＋1， ①?3f?x?＋5f??x?x

∴?

?1?

?＋5f?x?＝3x＋1， ②?3f???x?

1591

①×3－②×5得f(x)＝16x－16x＋8(x≠0)． 考向四 分段函数

方向1 求值问题

??log3x，x>0，

【例4】 (2019·石家庄市模拟)已知f(x)＝?x

?a＋b，x≤0?

(0

B．2 D．－3

【解析】 由题意得，f(－2)＝a－2＋b＝5 ①， f(－1)＝a－1＋b＝3 ②，

log3x，x>0，?1

联立①②，结合0

??2?＋1，x≤0，1

则f(－3)＝(2)－3＋1＝9，f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2，故选B.

【答案】 B

方向2 求参数的取值范围

??0，x≤0，

【例5】 (2019·福建福州模拟)设函数f(x)＝?x则满足－x

??2－2，x>0，

f(x2－2)>f(x)的x的取值范围是( )

A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

【解析】 由题意，x>0时，f(x)递增，故f(x)>f(0)＝0，又x≤0时，x＝0，故若f(x2－2)>f(x)，则x2－2>x，且x2－2>0，解得x>2或x<－2，故选C.

【答案】 C

方向3 分段函数的最值问题

|x－a|?，x≤1，?2

【例6】 (2019·江西南昌一模)设函数f(x)＝?若f(1)是

??x＋1，x>1，

f(x)的最小值，则实数a的取值范围为( )

A．[－1,2) C．[1,2]

B．[－1,0] D．[1，＋∞)

|x－a|

?2，x≤1，?

【解析】 函数f(x)＝?若x>1，则f(x)＝x＋1>2，易知y

?x＋1，x>1，?

＝2|x－a|在(a，＋∞)上递增，在(－∞，a)上递减，若a<1，则f(x)在x＝a处取得最小值，不符合题意；若a≥1，则要使f(x)在x＝1处取得最小值，只

需2a－1≤2，解得a≤2，∴1≤a≤2.综上可得a的取值范围是[1,2]．故选C.

【答案】 C

, (1)分段函数的求值问题的解题思路

①求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． ②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．

(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路

依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来． (3)分段函数的最值问题

依据不同范围的单调性或图象求解．

??log2x＋a，x>0，

1．(方向1)(2019·福州高三模拟)已知函数f(x)＝?x－2若f(a)

?4－1，x≤0.?

＝3，则f(a－2)＝( A )

15

A．－16 63

C．－64或3

B．3 15D．－16或3

解析：当a>0时，若f(a)＝3，则log2a＋a＝3，解得a＝2(满足a>0)；当a≤0时，若f(a)＝3，则4a－2－1＝3，解得a＝3，不满足a≤0，所以舍15

去．于是，可得a＝2.故f(a－2)＝f(0)＝4－1＝－16.故选A.

－2

2??x＋2x，x<0，

2．(方向2)设函数f(x)＝?2若f(f(a))≤3，则实数a的取

??－x，x≥0，

值范围是( D )

A．(－∞，－3] C．[－3，3]

B．[－3，＋∞) D．(－∞，3]

??t<0，

解析：令f(a)＝t，则f(t)≤3等价于?2

?t＋2t≤3???t≥0，

或?2解得t≥－3， ?－t≤3，?

???a<0，?a≥0，则f(a)≥－3等价于?2或? 2

???a＋2a≥－3?－a≥－3，

解得a≤3，则实数a的取值范围是(－∞，3]， 故选D.

2

x?＋x，－2≤x≤c，

3．(方向3)(2019·北京西城模拟)已知函数f(x)＝?1

?x，c

?1??1?

若c＝0，则f(x)的值域是?－4，＋∞?；若f(x)的值域是?－4，2?，则实数c

?????1?

?的取值范围是2，1?. ??