2020高考数学理科大一轮复习导学案《函数及其表示》含答案

第二章 函数、导数及其应用

第一节函数及其表示

知识点一 函数与映射的概念

1．函数的定义

一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.

2．映射的定义

设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射．

1．(必修1P18例2改编)下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是( B )

A．y＝(x＋1)2 x2

C．y＝x＋1

3B．y＝x3＋1 D．y＝x2＋1

解析：对于A，函数y＝(x＋1)2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应法则都相同，是x2

相等函数；对于C，函数y＝x＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应法则不同，不是相等函数．

2．(必修1P25B2改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( B )

解析：A中函数定义域不是[－2,2]；C中图象不表示函数；D中函数值域不是[0,2]．

知识点二 函数的三要素及表示方法

1．函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．

2．函数的三要素：定义域、值域、对应关系． 3．表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．

1

3．函数f(x)＝2－1＋的定义域为( C )

x－2

xA．[0,2)

C．[0,2)∪(2，＋∞)

B．(2，＋∞)

D．(－∞，2)∪(2，＋∞)

x??2－1≥0，

解析：由题意得?解得x≥0且x≠2.

?x－2≠0，?

4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3

＋x2，则f(2)＝12.

解析：f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－8)＋4]＝12. 知识点三 分段函数

若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．

1，x>0，??

5．(2019·陕西质量检测)设x∈R，定义符号函数sgnx＝?0，x＝0，

??－1，x<0，

则函数f(x)＝|x|sgnx的图象大致是( C )

解析：由符号函数解析式和绝对值运算，可得f(x)＝x，故选C. 6．函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2,2]上，f(x)＝πx?cos?2，0

2则f(f(15))的值为2. 解析：因为函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，所以函数f(x)的最小正周期是4.因为在区间(－2,2]上，f(x)＝

πx??cos2，0

1π2

所以f(f(15))＝f(f(－1))＝f(2)＝cos4＝2.

1．函数是特殊的映射，是定义在非空数集上的映射． 直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点． 2．函数定义域是研究函数的基础依据，对函数的研究，必须坚持定义域优先的原则．

3．分段函数无论分成几段，都是一个函数，必须用分类讨论的思想解