2016届高考一轮复习第一节集合教师用书

考点三 高频考点，发散思维 集合的基本运算

有关集合运算的考题，在高考中多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为低档题，且主要有以下几个命题角度：

角度一：离散型数集间的交、并、补运算 [例3] (2014·重庆高考)设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，则(?UA)∩B＝________.

[听前试做] 依题意得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，?UA＝{4,6,7,9,10}，(?UA)∩B＝{7,9}． 答案：{7,9}

角度二：连续型数集间的交、并、补运算 [例4] (2014·山东高考)设集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|1≤x≤4}，则A∩B＝( ) A．(0,2] B．(1,2) C．[1,2) D．(1,4)

[听前试做] 由题意得集合A＝(0,2)，集合B＝[1,4]，所以A∩B＝[1,2)． 答案：C

角度三：已知集合的运算结果求集合

[例5] 设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩?UN＝{2,4}，则N＝( ) A．{1,2,3} B．{1,3,5} C．{1,4,5} D．{2,3,4} [听前试做]

画出Venn图，阴影部分为M∩?UN＝{2,4}，∴N＝{1，3,5}． 答案：B

角度四：已知集合的运算结果求参数 [例6] 已知集合A＝{x∈R||x＋2|＜3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)＜0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.

[听前试做] A＝{x∈R||x＋2|＜3}＝{x∈R|－5＜x＜1}， 由A∩B＝(－1，n)，可知m＜1，

则B＝{x|m＜x＜2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.

答案：－1 1

集合运算问题的常见类型及解题策略

(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解； (2)连续型数集的运算，常借助数轴求解；

(3)已知集合的运算结果求集合，常借助数轴或Venn图求解；

(4)根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解．

1．(2015·宁波模拟)设全集U＝R，A＝{x|x(x＋3)<0}，B＝{x|x<－1}，则图中阴影部分表示的集合为( )

A．{x|－3

C．{x|－1≤x＜0} D．{x|x<－3} 解析：选C 因为A＝{x|x(x＋3)<0}＝{x|－3

2．(2015·福州模拟)已知集合M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，N＝{y|y＝2－x2}，则M∩N＝( ) A．[－1，＋∞) B．[－1,2] C．[－1，2 ] D．?

解析：选B M＝{y|y＝x2－1，x∈R}＝{y|y≥－1}，N＝{y|y＝2－x2}＝{y|y≤2}，所以M∩N＝[－1,2]，故选B.

3．(2015·龙岩模拟)已知集合A＝{1,2,3}，B∩A＝{3}，B∪A＝{1,2,3,4,5}，则集合B的子集的个数为( )

A．6 B．7 C．8 D．9

解析：选C 由题意知B＝{3,4,5}，集合B含有3个元素，则其子集个数为23＝8. 4．(2015·郑州模拟)设集合A＝{x|x2＋2x－3＞0}，B＝{x|x2－2ax－1≤0，a＞0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是( )

3343

0，? B.?，? C.?，＋∞? D．(1，＋∞) A.??4??43??4?

2

解析：选B 由题意知A＝{x|x＋2x－3＞0}＝{x|x＞1或x＜－3}，因为函数y＝f(x)＝2

x－2ax－1的对称轴为x＝a＞0，根据对称性可知，要使A∩B中恰含有一个整数，则这个

3a≥，?4?4－4a－1≤0，34

整数解为2，所以有f(2)≤0且f(3)＞0，即?所以即≤a＜. 434??9－6a－1＞0，

a＜，3

考点四 集合中的创新问题 创新背景，全新设计

以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，考查考生理解、解决创新问题的能力．归纳起来常见的命题角度有：

角度一：创新集合新定义

创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以创新，结合相应的数学知识，来解决创新集合的新定义问题．

[例7] 如果集合A满足“若x∈A，则－x∈A”，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A＝{2x,0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________.

[听前试做] 由题意可知－2x＝x2＋x，所以x＝0或x＝－3.而当x＝0时不符合集合中元素的互异性，所以舍去．当x＝－3时，A＝{－6,0,6}，所以A∩B＝{0,6}．

答案：{0,6}

角度二：创新集合新运算

创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的．

[例8] 对于任意两个正整数m，n，定义运算(用⊕表示运算符号)：当m，n都是正偶数或都是正奇数时，m⊕n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊕n＝m×n.例如4⊕6＝4＋6＝10,3⊕7＝3＋7＝10,3⊕4＝3×4＝12.在上述定义中，集合M＝{(a，b)|a⊕b＝12，a，b∈N*}的元素有________个．

[听前试做] m，n同奇同偶时有11组：(1,11)，(2,10)，?，(11,1)；m，n一奇一偶时有4组：(1,12)，(12,1)，(3,4)，(4,3)．

答案：15

角度三：创新集合新性质

创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题．

???

[例9] 对于复数a，b，c，d，若集合S＝{a，b，c，d}具有性质“对任意x，y∈S，必a＝1，??2

有xy∈S”，则当?b＝1，

??c2＝b

时，b＋c＋d等于( )

A．1 B．－1 C．0 D．i

[听前试做] ∵S＝{a，b，c，d}，由集合中元素的互异性可知当a＝1时，b＝－1，c2

＝－1，∴c＝±i，由“对任意x，y∈S，必有xy∈S”知±i∈S，∴c＝i，d＝－i或c＝－i，d＝i，

∴b＋c＋d＝(－1)＋0＝－1. 答案：B 解决新定义问题应注意以下几点

(1)遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质； (2)按新定义的要求，“照章办事”，逐步分析、验证、运算，使问题得以解决； (3)对于选择题，可以结合选项，通过验证、排除、对比、特值等方法解决．

设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义一个二元运算“*”(即对任意的a，b∈S，对于有序元素对(a，b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应)．若对任意的a，b∈S，有a*(b*a)＝b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是( )

A．(a*b)*a＝a

B．[a*(b*a)]*(a*b)＝a C．b*(b*b)＝b

D．(a*b)*[b*(a*b)]＝b 解析：选A 根据题意“对任意的a，b∈S，有a*(b*a)＝b”，则选项B中，[a*(b*a)]*(a*b)＝b*(a*b)＝a一定成立；选项C中，b*(b*b)＝b一定成立；选项D中(a*b)*[b*(a*b)]＝(a*b)*a＝b，一定成立，故选A.

—————————————[课堂归纳——通法领

悟]——————————————

1种思想——数形结合思想

Venn图是研究集合的工具，借助Venn图和数轴即数形结合能使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．

3个注意点——解决集合问题应注意的问题

(1)认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．

(2)注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．

(3)防范空集．在解决有关A∩B＝?，A?B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑?是否成立，以防漏解．

[全盘巩固]

一、选择题 1．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝( )

A．{1} B．{2} C．{0,1} D．{1,2}

解析：选D N＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，又M＝{0,1,2}，所以M∩N＝{1,2}． 2．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为( ) A．5 B．4 C．3 D．2

解析：选C 当x＝－1，y＝0时，z＝－1；当x＝－1，y＝2时，z＝1；当x＝1，y＝0时，z＝1；当x＝1，y＝2时，z＝3.故z的值为－1,1,3，故所求集合为{－1,1,3}，共含有3个元素．

3．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有( ) A．2个 B．4个 C．6个 D．8个

解析：选B 由M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，可求出P＝M∩N＝{1,3}，所以P的子集共有22＝4个，故选B.

4．集合A＝{x|2 015a}满足A∩B＝?，则实数a的取值范围为( ) A．{a|a≥2 015} B．{a|a≤2 015} C．{a|a≥2 016} D．{a|a≤2 016}

解析：选C 将集合A＝{x|2 015a}表示在数轴上，如图所示，

??

因为A∩B＝?，所以a≥2 016，故选C.

?1?

5．已知集合A＝{1,2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝?2?，则A∪B＝( )

?????1??1?C.?2，1? D.?2，1，－1? ????

1??1?11?

解析：选D 由A∩B＝?2?，得2a＝，解得a＝－1，从而b＝.所以A＝?1，2?，B＝

22????

1???1?

?－1，?，则A∪B＝?，1，－1?.

2???2?

?1??1?A.?2，1，2? B.?2，－1?

6．已知集合A＝{x|x2＋x－6≤0}，B＝{y|y＝x，0≤x≤4}．则A∩(?RB)＝( ) A．[－3,2] B．[－2,0)∪(0,3] C．[－3,0] D．[－3,0)

解析：选D 由题意知集合A＝[－3,2]，集合B＝[0,2]，?RB＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，所以A∩(?RB)＝[－3,0)．

7．设集合U＝{－1,1,2,3}，M＝{x|x2－5x＋p＝0}，若?UM＝{－1,1}，则实数p的值为( )

A．－6 B．－4 C．4 D．6

解析：选D 由已知条件可得M＝{2,3}，则2,3是方程x2－5x＋p＝0的两根，则p＝6，故选D.

8．(2015·西安模拟)已知集合A＝{x|1≤x＜5}，B＝{x|－a＜x≤a＋3}．若B?(A∩B)，则a的取值范围为( )

33－，－1? B.?－∞，－? A.?2??2??

3

－，＋∞? C．(－∞，－1] D.??2?

解析：选C 因为B?(A∩B)，所以B?A.

3

①当B＝?时，满足B?A，此时－a≥a＋3，即a≤－；

2

－a＜a＋3，??

②当B≠?时，要使B?A，则?－a≥1，

??a＋3＜5，