人教版八年级下册第十八章平行四边形全章复习和巩固(提高)知识讲解

∴∠DGO＝∠DGC＝90°， 又∵DG＝DG， ∴△DGC≌△DGO， ∴CD＝OD，

∵F是BO中点，OF＝2cm， ∴BO＝4cm，

∵四边形ABCD是矩形， ∴DO＝BO＝4cm，

∴DC＝4cm，DB＝8cm， ∴CB＝DB2?DC2?43，

∴矩形ABCD的面积＝4×43?163cm．

【总结升华】本题主要考查矩形的判定，首先要判定四边形是平行四边形，然后证明对角线相等． 举一反三：

【变式】如图，O为△ABC内一点，把AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接形成四

边形DEFG．

（1）四边形DEFG是什么四边形，请说明理由；

（2）若四边形DEFG是矩形，点0所在位置应满足什么条件？说明理由．

2

【答案】

解：（1）四边形DEFG是平行四边形．理由如下：

∵D、G分别是AB、AC的中点， ∴DG是△ABC的中位线；

∴DG∥BC，且DG＝

1BC； 21BC； 2同理可证：EF∥BC，且EF＝

∴DG∥EF，且DG＝EF；

故四边形DEFG是平行四边形；

（2）O在BC边的高上且A和垂足除外．理由如下：

连接OA；

同（1）可证：DE∥OA∥FG； ∵四边形DEFG是矩形， ∴DG⊥DE； ∴OA⊥BC；

即O点在BC边的高上且A和垂足除外．

3、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4．过点A作AE⊥AB且AB=AE，过点E分别作EF⊥AC，ED⊥BC，分别交AC和BC的延长线与点F，D．若FC=5，求四边形ABDE的周长．

【思路点拨】首先证明△ABC≌△EAF，即可得出BC=AF，AC=EF，再利用勾股定理得出AB的长，进而得出四边形EFCD是矩形，求出四边形ABDE的周长即可． 【答案与解析】

解：∵∠ACB=90°，AE⊥AB，

∴∠1+∠B=∠1+∠2=90°．

∴∠B=∠2． ∵EF⊥AC，

∴∠4=∠5=90°． ∴∠3=∠4．

在△ABC和△EAF中，

??3??4?∵??2??B，， ?AB?AE?∴△ABC≌△EAF（AAS）． ∴BC=AF，AC=EF． ∵BC=4， ∴AF=4． ∵FC=5， ∴AC=EF=9．

在Rt△ABC中，AB=CB2?AC2?42?92?97. ∴AE=97．

∵ED⊥BC，

∴∠7=∠6=∠5=90°． ∴四边形EFCD是矩形．

∴CD=EF=9，ED=FC=5．

∴四边形ABDE的周长=AB+BD+DE+EA=97+4+9+5+97=18+297．

【总结升华】此题主要考查了全等三角形的判定以及矩形的判定与性质和勾股定理等知识，根据已知得出AC=EF=9是解题关键． 类型三、菱形

4、如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝5．对角线AC，BD 相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F. （1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形； （2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；

（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，

说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．

【思路点拨】（1）当旋转角为90°时，∠AOF=90°，由AB⊥AC，可得AB∥EF，即可证明四边形ABEF为平行四边形；（2）证明△AOF≌△COE即可；（3）当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形，又由AB⊥AC，AB=1，BC=5，易求得OA=AB，即可得∠AOB=45°，求得∠AOF=45°，则可得此时AC绕点O顺时针旋转的最小度数为45°． 【答案与解析】

（1）证明：当∠AOF＝90°时，AB∥EF，

又AF∥BE，

∴四边形ABEF为平行四边形．

（2）证明：Q四边形ABCD为平行四边形，

∴AO＝CO，∠FAO＝∠ECO，∠AOF＝∠COE. ∴△AOF≌△COE ∴AF＝CE

（3）四边形BEDF可以是菱形．

理由：如图，连接BF，DE，

由（2）知△AOF≌△COE，得OE＝OF， ∴EF与BD互相平分．

∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形． 在Rt△ABC中，AC?5?1?2，

∴OA＝1＝AB，又AB⊥AC，∴∠AOB＝45°，

∴∠AOF＝45°，

∴AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF为菱形．

【总结升华】要证明四边形是菱形，先证明这个四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直的特征证明该平行四边形是菱形. 举一反三：

【变式】已知:如图所示，BD是△ABC的角平分线，EF是BD的垂直平分线，且交AB于E，

交BC于点F.求证:四边形BFDE是菱形.

【答案】

证明：∵EF是BD的垂直平分线，

∴EB=ED，∠EBD=∠EDB. 又∵∠EBD= ∠FBD，

∴∠FBD=∠EDB，ED∥BF. 同理，DF∥BE， ∴四边形BFDE是平行四边形. 又∵EB=ED，

∴四边形BFDE是菱形.

5、在口ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AB，点E、F分别是OA、BC的中点．连接BE、EF．

（1）求证：EF=BF；

（2）在上述条件下，若AC=BD，G是BD上一点，且BG：GD=3：1，连接EG、FG，试判断四边形EBFG的形状，并证明你的结论． 【思路点拨】 （1）根据平行四边形性质推出BD=2BO，推出AB=BO，根据三线合一定理得出BE⊥AC，在△BEC中，根据直角三角形斜边上中线性质求出EF=BF=CF即可；