人教版高中数学选修2-3练习：第一章1.3-1.3.1二项式定理 Word版含解析

第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理

A级 基础巩固

一、选择题

1．化简多项式(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1的结果是( )

A．(2x＋2)5 C．(2x－1)5

B．2x5 D．32x5

解析：原式＝(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5. 答案：D

1?24?

x＋?2．在??3?的展开式中，x的幂指数是整数的项共有( )

x??A．3项

B．4项

C．5项 D．6项

24－r5rr

解析：Tr＋1＝C24x2·x－＝Cr24·x12－r，则r分别取0，6，3612，18，24时，x的幂指数为整数，所以x的幂指数有5项是整数项．

答案：C

1?n?

x－?

3．若??3?的展开式中第四项为常数项，则n＝( )

2x??A．4 C．6

B．5 D．7

1?r??n－r?－r－rr解析：由二项展开式可得Tr＋1＝Cr＝(－1)2Cnn(x)?3??2x?n－rn－5n－5r－333x2·x－，从而T4＝T3＋1＝(－1)2Cnx2，由题意可知＝0，32n＝5. 答案：B 4．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是( ) A．－297 C．297

B．－252 D．207

解析：(1－x3)(1＋x)10＝(1＋x)10－x3(x＋1)10展开式中含x5的项的

2

系数为：C510－C10＝207.

答案：D

12nn

5．若Cnx＋C2则x，n的值可能为( ) nx＋…＋Cnx能被7整除，

A．x＝5，n＝5 C．x＝4，n＝4

B．x＝5，n＝4 D．x＝4，n＝3

22nnn解析：C1nx＋Cnx＋…＋Cnx＝(1＋x)－1，检验得B正确．

答案：B

二、填空题

6．(2015·福建卷)(x＋2)5的展开式中，x2的系数等于________(用数字作答)．

322解析：(x＋2)5的展开式中x2项为C252x＝80，所以x的系数等于

80.

答案：80

1?6?

2－? 7.??3?的展开式中的第四项是________．

x??

1?3?

160－??33

解析：T4＝C62?3?＝－.

xx??160答案：－ x?3?n18．如果?x2＋?的展开式中，x2项为第三项，则自然数n＝x??________． r解析：Tr＋1＝Cn(x2)3n－r?1?rr??＝Cnx?x?2n－5r2n－5r

由题意知r＝2时，3，3

＝2，所以n＝8.

答案：8 三、解答题

?1?

9．在?2x－?的展开式中，求：

x??

6

(1)第3项的二项式系数及系数； (2)含x2的项及项数．

解：(1)第3项的二项式系数为C26＝15，

?1?24?－2?＝24C6又T3＝C6(2x)x，

x??

2

所以第3项的系数为24C26＝240.

?1?k6－k?－3－k?＝(－1)k26－kCr(2)Tk＋1＝Cn(2x)， 6xx??

k

令3－k＝2，得k＝1.

所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.

10．已知m，n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数．

解：由题设知m＋n＝19，又m，n∈N*， 所以1≤m≤18.

12122x2的系数为Cm＋C2＝(m－m)＋(n－n)＝m2－19m＋171. n

22所以当m＝9或10时，x2的系数的最小值为81，此时x7的系数为

77

C9＋C10＝156.

B级 能力提升 ?22?1．如果?3x－x3?的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小

??n值为( )

A．3 C．6

n

B．5 D．10

r

?2??2?2n－rn?－3?＝Cr解析：?3x2－x3?展开式的通项表达式为Cr(3x)·nn3???x?

－r

n－r

(－2)rx2n－5r，若Cr(－2)rx2n－5r为非零常数项，必有2n－5r＝0，n3

5

得n＝r，所以正整数n的最小值为5.

2

答案：B

?a?

2．设二项式?x－?(a＞0)的展开式中，x3的系数为A，常数项为

x??

6

B，若B＝4A，则a的值是________．