2011-2012学年度第一学期高等数学(2.1)A答案

天津科技大学2011-2012学年第一学期高等数学（二.一）A卷

参考答案及评分标准

一、填空题（共15分，每小题3分）

x?11. 当x? 1 时，函数f(x)?是无穷小量.

x?12. 若某商品的需求函数为Q??100P?3000，则当价格P?20时，需求的价格弹性

??Ed? 2 . 3. 已知函数f?x???x?1??x?2??x?3?，则方程f??x??0有 2 个实根. 4. 若f(x)的一个原函数为lnx，则xf?(x)dx??（或1?lnx?C） ?lnx?C．

5. 设函数f(x)连续，F(x)??x0xf(t)dt，则F?(x)?xf(x)??f(t)dt0x.

二、单项选择题（共15分，每小题3分）

1.下列极限中，正确的是（ D ）.

1sinx?1 (B) lim?1

x?0x??xxsinx1?1 (D) limxsin?1 (C) limx??x??xx (A) limxsin2. 下列函数中，在x?0点可导的是（ C ）.

(A) y?x (B) y?3x (C) y?xx (D) y?sgnx 3．函数f?x?在x?x0处取得极大值，则（ D ）.

(A) f?(x0)?0 (B) f?(x0)?0 (C) f?(x0)?0且f??(x0)?0 (D) f?(x0)?0或f?(x0)不存在

4．极限limx?1?x1edt的值是（ B ）.

t2lnx(A) 1 (B) e (C) 5．当q满足（ A ）时，瑕积分

b e (D) 0. 2dx?a(x?a)q（q?0）收敛.

(A) 0?q?1 (B) 0?q?1 (C) q?1； (D) q?1

三、求下列极限（每小题5分，共10分）

1. limsin(x?1). 2x?1x?1解：limx?1sin(x?1)x?12分 4分 ?lim?lim222x?1x?1x?1x?1x?1(x?1)(x?1)1(x?1)(x?1)11?x?limx?1?1. 5分 42. limxx?1.

lnxlimx?11?x解：limxx?111?x?e2分?elim?1x?1x4分?e?1?1. 5分 e四、求下列函数的导数或微分（每小题5分，共15分）

1．设函数y?(1?x2)arctanx，求y??．

1?x2?1?2xarctanx，3分 解：y??2xarctanx?21?x y???0?2arctanx?2x2x?2arctanx?. 5分 1?x21?x22．设函数y?y(x)由方程x2y?e2x?siny确定，求dy. 解：方程两边同时对x求导，有2xy?x2dydy?2e2x?cosy，3分（每项的导数各1分） dxdxdy2e2x?2xy2e2x?2xy 解得4分，所以dy?2?2dx. 5分 dxx?cosyx?cosy3．设函数y?x，求y?. 解：两边取对数，lny?1xlnx，1分 x1?2y?1?lnx1?lnxx??x(1?lnx). 5分 于是4分，所以y??yyx2x2五、求下列各积分（每小题6分，共24分）

x?(arctanx)2dx. 1．不定积分?21?xx?(arctanx)2x(arctanx)2dx??dx??dx1分 解：?2221?x1?x1?x111d(1?x2)232?ln(1?x)?(arctanx)?C.6分 ?(arctanx)d(arctanx) ??3分2?2321?x2．不定积分

?1?dx1?2x.

解：令1?2x?t，则x?12(t?1)，dx?tdt2分．于是， 2

?1?dx1?2x??tdt1??(1?)dt3分 1?t1?t?t?ln1?t?C5分?1?2x?ln(1?1?2x)?C.6分 3．定积分

?x41lnxxdx.

41解：

?41lnxdx?2xlnx?2?41dxx3分?8ln2?4x415分?4(2ln2?1).6分 4．反常积分

?????dx.

x2?4x?5解：

???????d(x?2)??dx???arctan(x?2)??(?)??.6分 2分4分???22???22x?4x?5(x?2)?1六、一船厂某年建造船的成本函数为C?q2?2q?3,其中C为成本（单位：亿元）,q为

需求量(即产量, 单位：艘),需求函数为q?10?p,其中p为单价（单位：亿元/艘）,求该年利润最大时的产量及最大利润. （本题7分） 解: 设利润为y,则y?qp?C??2q2?8q?3（q?0）.3分 由y???4q?8?0,得唯一驻点q?25分. 又y????4，由于y??(2)?0,

2故q?2为唯一的极大值点,即为y??2q?8q?3的最大值点.6分 所以当产量q?2(艘)时,利润为最大, 最大利润为y(2)?5(亿元).7分 七、证明函数f(x)?证明：f?(x)?ln(1?x)??)内单调减少． （本题7分） 在区间(0，xx/(1?x)?ln(1?x)x?(1?x)ln(1?x)．2分 ?22xx(1?x)设g(x)?x?(1?x)ln(1?x)，则g?(x)?1?ln(1?x)?1??ln(1?x)， 当x?0时，g?(x)?0，于是g(x)单调减少，则g(x)?g(0)?0，5分 又x2(1?x)?0，从而f?(x)?0，6分 所以函数f(x)?ln(1?x)在区间(0，??)内单调减少．7分 x八、设f(x)是连续的正值函数，证明等式

?

10lnf(x?t)dt??ln0x1f(1?t)dt??lnf(t)dt． （本题7分）

0f(t)证明：令x?t?u，则dt?du1分，于是

?101lnf(x?t)dt??1?x11?xxlnf(u)du2分 x0??lnf(u)du??0lnf(u)du??lnf(u)du，3分 对第二个积分

?1?x1lnf(u)du，令u?1?v，则du?dv，则

x0?1?x1lnf(u)du??lnf(1?v)dv，6分 所以

?10lnf(x?t)dt??lnf(u)du??lnf(1?v)dv??lnf(u)du

0001xx ??10lnf(t)dt??lnf(1?t)dt??lnf(t)dt

00xx1f(1?t)dt??lnf(t)dt．7分 ??ln00f(t)x