(新课改地区)2021版高考数学第七章数列7.5.3数列建模问题练习新人教B版

等比数列 简单递推 数列

指数增长或减少,常见的是增长率问题、存款复利问题

指数增长的同时又均匀减少.如年收入增长率为20%,每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销,即数列{an}满足an+1=1.2an-a

(2)准确解决模型:解模就是根据数列的知识,求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等,在解模时要注意运算准确.

(3)给出问题的回答:实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案,在解题中不要忽视了这点.

为了加强新旧动能转化,某市计划用若干时间更换一万辆燃油型公交车,每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车,替换车为电力型和混合动力型车.今年年初投入了电力型公交车128辆,混合动力型公交车400辆;计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%,混合动力型车每年比上一年多投入a辆.

(1)求经过n年,该市被更换的公交车总数S(n). (2)若该市计划7年内完成全部更换,求a的最小值.

【解析】(1)设an,bn分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量.

依题意,得{an}是首项为128,公比为1+50%=的等比数列,{bn}是首项为400,公差为a的等差数列.所以{an}的前n项和

Sn==256,

{bn}的前n项和Tn=400n+a.

所以经过n年,该市被更换的公交车总数为

S(n)=Sn+Tn=256+400n+a.

(2)若计划7年内完成全部更换, 则S(7)≥10 000,

所以256+400×7+a≥10 000,

即21a≥3 082,所以a≥146

*

.

又a∈N,所以a的最小值为147. 考点三 数学文化与数列

命 考什么:考查数列的递推关系,等差、等比数列的通项公式或前n 项和 题 怎么考:以古今数学文化为载体的数列问题 精 新趋势:从中国古代数学名著,如《九章算术》《算法统宗》《律学新说》等世界数学名著中挖掘素解 材,也可从古代诗歌、传说中进行提炼 读 学 霸 解决数列应用问题,要明确问题属于哪一种类型,即明确是等差数列问题还是等比数列问题,是求好 an还是Sn,特别是要弄清项数. 方 法 等差数列模型

【典例】《九章算术》是我国古代的数学名著,书中《均输章》有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何.”其意思为:已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?(“钱”是古代的一种重量单位)在这个问题中,丙所得为 ( )

A.钱 B.钱 C.钱 D.1钱

【解析】选D.因甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列,设每人所得依次为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,则a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5,解得a=1,即丙所得为1钱.

等比数列模型

【典例】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯 ( ) A.1盏

B.3盏

C.5盏

D.9盏

【解析】选B.设塔的顶层共有灯x盏,则各层的灯数构成一个首项为x,公比为2的等比数列,

结合等比数列的求和公式有

如何建立该题的数学模型?

=381,解得x=3,即塔的顶层共有灯3盏.

提示:建立等比数列模型,设顶层灯盏数x为数列首项,数列的公比q=2,7层塔的总灯数为等比数列的前7项和.

【名师点睛】用数列知识解相关的实际问题,关键是列出相关信息,合理建立数学模型——数列模型,判断是等差数列还是等比数列模型;求解时要明确目标,即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题,所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题还是最值问题,然后将经过数学推理与计算得出的结果放回到实际问题中,进行检验,最终得出结论.

递推关系模型

【典例】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样的数列:1,1,2,3,5,8,…,该数列的特点是:从第3个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列{an}称为“斐波那契数列”,则斐波那契数列中的第________项.

是

【解析】(方法一:分析分子和式的通项,求和化简) 依题意得a1=a2=1,an+2=an+1+an,

an+1·an+2=+an·an+1,

所以=an+1·an+2-an·an+1,

则=a2 019a2 020-a2 018a2 019,=a2 018a2 019-a2 017a2 018,

=a2 017a2 018-a2 016a2 017,……

=a2a3-a1a2,又=a1a2,

因此+++…++=a2 020a2 019,

即=a2 020,

故是斐波那契数列中的第2 020项.

(方法二:归纳法)==2=a3,

==3=a4,==5=a5,猜测

=

an+1.由此可知,答案:2 020

=a2 020.

1.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一,书中有一道这样的题目:把100个面包

分给5个人,使每个人所得成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和,问最小的一份为

( )

A. B. C. D.

【解析】选A.由100个面包分给5个人,每个人所得成等差数列,可知中间一人得20块面包,设较大的两份为20+d,20+2d,较小的两份为20-d,20-2d,由已知条件可得

(20+20+d+20+2d)=20-d+20-2d,解得d=,所以最小的一份为20-2d=20-

2×=.

2.中国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日