2011年高考数学专题讲义数列综合

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第八讲 数列综合

★★★高考在考什么 【考题回放】

1.（宁夏）已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y?x2?2x?3的顶点是(b，c)，则ad等于（ B ）

Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．?2

2.(江西)已知等差数列?an?的前n项和为Sn，若S12?21，则a2?a5?a8?a11?

．7

3.（辽宁卷） 在等比数列?an?中,a1?2,前n项和为Sn,若数列?an?1?也是等比数列,则

Sn等于

A．2n?1?2 B.3n C. 2n D.3n?1

【解析】因数列?an?为等比，则an?2qn?1，因数列?an?1?也是等比数列， 则

(an?1?1)2?(an?1)(an?2?1)?an?12?2an?1?anan?2?an?an?2?an?an?2?2an?1?an(1?q?2q)?0?q?12

即an?2，所以Sn?2n，故选择答案C。

，2，3，4，5，6}， S1，S2，4.（湖南）设集合M?{1?，Sk都是M的含两个元素的子集，且满，2，3，?，k}），都有足：对任意的Si?{ai，bi}，Sj?{aj，bj}（i?j，i、j?{1??ab??ajbj??min?i，i??min?，?（min{x，y}表示两个数x，y中的较小者），则k的最大

??biai??bjaj??值是（ B ）

A．10 B．11 C．12 D．13

5.(陕西卷) 已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，

求数列{an}的通项an .

22

解析：解: ∵10Sn=an+5an+6， ① ∴10a1=a1+5a1+6，解之得a1=2或a1=3．

2

又10Sn－1=an－1+5an－1+6(n≥2)，②

22

由①－②得 10an=(an－an－1)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0 ∵an+an－1>0 ， ∴an－an－1=5 (n≥2)．

当a1=3时，a3=13，a15=73． a1， a3，a15不成等比数列∴a1≠3;

2

当a1=2时，a3=12， a15=72， 有a3=a1a15 ， ∴a1=2， ∴an=5n－3．

2

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26.（广东卷）已知公比为q(0?q?1)的无穷等比数列?an?各项的和为9，无穷等比数列an??各项的和为

81. 5(I)求数列?an?的首项a1和公比q；

(II)对给定的k(k?1,2,3,?,n)，设T(k)是首项为ak，公差为2ak?1的等差数列，求T(2)的前10项之和；

?a1?a1?3?1?q?9????解: (Ⅰ)依题意可知,?22

q?a811???3?2?51?q??2?(Ⅱ)由(Ⅰ)知,an?3????3?d?2a2?1?3,

S10?10?2?n?1,所以数列T(2)的的首项为t1?a2?2,公差

1?10?9?3?155,即数列T(2)的前10项之和为155. 2★★★高考要考什么

本章主要涉及等差（比）数列的定义、通项公式、前n项和及其性质，数列的极限、无穷等比数列的各项和．同时加强数学思想方法的应用，是历年的重点内容之一，近几年考查的力度有所增加，体现高考是以能力立意命题的原则．

高考对本专题考查比较全面、深刻，每年都不遗漏．其中小题主要考查a1、d(q)、

n、an、Sn间相互关系，呈现“小、巧、活”的特点；大题中往往把等差（比）数列与函

数、方程与不等式，解析几何 等知识结合，考查基础知识、思想方法的运用，对思维能力要求较高，注重试题的综合性，注意分类讨论．

高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在 一起，再加以导数和向量等新增内容，使数列综合题新意层出不穷．常见题型：

（1）由递推公式给出数列，与其他知识交汇，考查运用递推公式进行恒等变形、推理与综合能力．

（2）给出Sn与an的关系，求通项等，考查等价转化的数学思想与解决问题能力．

（3）以函数、解析几何的知识为载体，或定义新数列，考查在新情境下知识的迁移能力． 理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用，注意不等式型的递推数列．

★ ★★ 突 破 重 难 点

31?a?a?b?1??n4n?14n?1【范例1】已知数列{an}，{bn}满足a1?2，b1?1，且?（n≥2）

13?b?a?b?1nn?1n?1??44更多资料 www.7pp.com.cn 威海律师事务所 http://www.fazhi.net.cn

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（I）令cn?an?bn，求数列{cn}的通项公式； （II）求数列{an}的通项公式及前n项和公式Sn．

解：（Ｉ）由题设得an?bn?(an?1?bn?1)?2(n≥2)，即cn?cn?1?2（n≥2） 易知{cn}是首项为a1?b1?3，公差为２的等差数列，通项公式为cn?2n?1．

11(an?1?bn?1)(n≥2)，d?dn?1(n≥2)．令dn?，则 anb?nn2211易知{dn}是首项为a1?b1?1，公比为的等比数列，通项公式为dn?n?1． 由

22（II）解：由题设得an?bn??an?bn?2n?1，?解得 ?1an?bn?n?1??2111n2an?n?n?， 求和得Sn??n??n?1．

2222【变式】（文）在等差数列?an?中，a1?1，前n项和Sn满足条件

（Ⅰ）求数列?an?的通项公式；

（Ⅱ）记bn?anpan(p?0)，求数列?bn?的前n项和Tn。

S2n4n?2 ?,n?1,2,?，

Snn?1S2n4n?2a?a2得：1??3，所以a2?2，

a1Snn?1an?nd?a1?2n2(a?nd?a)2(a?n?1)4n?2S2nnn12即d?a2?a1?1，又＝，???a?aan?1n?1Snan?a1n1?n2所以an?n。

解：（Ⅰ）设等差数列?an?的公差为d,由

（Ⅱ）由bn?anpn，得bn?npn。所以Tn?p?2p2?3p3???(n?1)pn?1?npn， 当p?1时，Tn?当p?1时，

an?1； 2pTn?p2?2p3?3p4???(n?1)pn?npn?1， (1?P)Tn?p?p?p???p23n?1?p?npnn?1p(1?pn)??npn?1

1?p?n?1,p?1?2?即Tn??。 n?p(1?p)?npn?1,p?1??1?p更多资料 www.7pp.com.cn 威海律师事务所 http://www.fazhi.net.cn

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（理）已知二次函数y?f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f'(x)?6x?2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n,Sn)(n?N?)均在函数y?f(x)的图像上。 （Ⅰ）、求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）、设bn?m1，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn?对所有n?N?都成立

20anan?1的最小正整数m；

解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得

2a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x. 又因为点(n,Sn)(n?N?)均在函数y?f(x)的图像上，所以Sn＝3n－2n. 2当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n－2n）－（3n?1)2?2(n?1)＝6n－5. 2??当n＝1时，a1＝S1＝3×1－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （n?N）

2?（Ⅱ）由（Ⅰ）得知bn?11133?)， ＝＝(anan?1(6n?5)?6(n?1)?5?26n?56n?1故Tn＝

?bi＝

i?1n12111111?1?＝（1－）. (1?)?(?)?...?(?)??26n?177136n?56n?1??因此，要使

11m1m（1－）<（n?N?）成立的m,必须且仅须满足≤，即26n?120220m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.

【范例2】已知函数f(x)?x2?x?1，?,?是方程f(x)=0的两个根(???)，f'(x)是f(x)的导数；设a1?1，an?1?an? （1）求?,?的值；

（2）证明：对任意的正整数n，都有an>a； （3）记bn?lnan??（n=1,2,??），求数列{bn}的前n项和Sn。 an?af(an)（n=1,2,??） f'(an)解析：（1）∵f(x)?2x?x?1，?,?是方程f(x)=0的两个根(???)，∴

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