当前位置：首页 > 2016新课标三维人教B版数学选修1-1 3.2 导数的运算
2．已知f(x)＝xα(α∈Q)，若f′(－1)＝4，则α等于( ) A．3 C．4
解析：∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα1.
－
B．－3 D．－4
∴f′(－1)＝α(－1)α1＝4.
－
∴α＝－4. 答案：D
3．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为( ) 1A. eC．－e
解析：y′＝ex，设切点为(x0，y0)，则 y0＝kx0??
?y0＝ex0??k＝ex0
1
B．－ eD．e
∴ex0·x0＝ex0，∴x0＝1，∴k＝e. 答案：D
4．设曲线y＝xn1(n∈N＋)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则xn等于( )
＋
1A. nnC. n＋1
1B. n＋1D．1
解析：y′＝(n＋1)xn，曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得xn＝
n. n＋1答案：C
5．已知函数f(x)＝xmn(m，n∈Q)的导数为f′(x)＝nx3，则m＋n＝________.
－
解析：∵f(x)＝xmn，∴f′(x)＝(m－n)xm
－
－n－1
，
?m－n＝n，?∴?解得m＝8，n＝4，∴m＋n＝12. ?m－n－1＝3，?
答案：12
1
6．函数f(x)＝sin x(x∈[0,2π])，若f′(x0)＝，则x0＝________.
2解析：∵f(x)＝sin x， ∴f′(x)＝cos x，
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1
cos x0＝，又x0∈[0,2π]，
2π5π∴x0＝或x0＝. 33π5π答案：或
33
7．求下列函数的导数： (1)y＝x8；(2)y＝4x；(3)y＝log3x； π
x＋?；(5)y＝e2. (4)y＝sin??2?解：(1)y′＝(x8)′＝8x81＝8x7.
－
(2)y′＝(4x)′＝4xln 4. 1
(3)y′＝(log3x)′＝. xln 3(4)y′＝(cos x)′＝－sin x. (5)y′＝(e2)′＝0.
11
8．求曲线y＝2和y＝在它们的交点处的切线方程．
xx
?
解：由?1
y＝?x，1y＝2，x
?x＝1，?解得?∴交点坐标为(1,1)．
?y＝1.?
1－－
对于y＝2＝x2，y′＝－2x3，∴k1＝y′|x＝1＝－2，
x1－－
对于y＝＝x1，y′＝－x2，∴k2＝y′|x＝1＝－1.
x1
∴曲线y＝2在点P(1,1)处的切线方程为
xy－1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋3. 1
曲线y＝在点P(1,1)处的切线方程为
xy－1＝－(x－1)，即y＝－x＋2.
3．2.3 导数的四则运算法则
[对应学生用书P44]
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11
已知函数f(x)＝，g(x)＝x2，那么f′(x)＝－2，g′(x)＝2x.
xx问题1：如何求h(x)＝f(x)＋g(x)的导数？ 1
提示：用定义，由h(x)＝＋x2，
x得h(x＋Δx)－h(x)＝
11
＋(x＋Δx)2－－x2
xx＋Δx
Δx
＝(Δx)2－＋2x·Δx，
x?x＋Δx?则f′(x)＝lim→
Δx
h?x＋Δx?－h?x?
Δx0
11
＝lim (Δx－＋2x)＝2x－.
x2Δx→0x?x＋Δx?
问题2：(f(x)＋g(x))′＝f′(x)＋g′(x)成立吗？ 提示：成立．
问题3：(f(x)－g(x))′＝f′(x)－g′(x)成立吗？ 提示：成立．
问题4：[f(x)g(x)]′＝f′(x)·g′(x)成立吗？ 12
提示：[f(x)g(x)]′＝(·x)′＝x′＝1，
x2
而f′(x)·g′(x)＝－，
x
所以[f(x)g(x)]＝f′(x)·g′(x)不成立． f?x??f′?x?问题5：?′＝成立吗？
?g?x??g′?x?提示：不成立，因为?而
f?x??1?－4
3′＝－3x， ′＝??x??g?x??
f′?x?111
＝－2·＝－3.
x2x2xg′?x?
导数的四则运算法则(f(x)，g(x)是可导函数)
公式 (f(x)＋g(x))′＝f′(x)＋g′(x) (f(x)－g(x))′＝f′(x)－g′(x) [f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) 语言叙述 两个函数和的导数等于这两个函数导数的和 两个函数差的导数等于这两个函数导数的差 两个函数积的导数等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数 版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn
g?x?f′?x?－f?x?g′?x?g2?x??f?x??′＝ ?g?x???g?x?≠0?两个函数商的导数等于分母上的函数乘上分子的导数，减去分子乘以分母的导数所得的差除以分母的平方
1．对于和差的导数运算法则，可推广到任意有限个可导函数的和或差，即[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f1′(x)±f2′(x)±?±fn′(x)．
－cg′?x?c2．在积、商的求导法则中，当f(x)＝c时，[cg(x)]′＝cg′(x)，[]′＝. g?x?g2?x?3．注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”．
[对应学生用书P44]
[例1] 求下列函数的导数： x＋313
(1)y＝2x2＋－3；(2)y＝2；
xxx＋3(3)y＝excos x＋sin x；(4)y＝x3＋lg x.
[思路点拨] 观察函数的特征，可先对函数式进行合理变形，然后利用导数公式及相应的四则运算法则求解．
[精解详析] (1)∵y＝2x2＋x1－3·x3，
－
－
利用导数公式及运算法则求函数的导数 19－－
∴y′＝4x－x2－3·(－3)x4＝4x－2＋4. xx1·?x2＋3?－2x?x＋3?－x2－6x＋3
(2)y′＝＝. ?x2＋3?2?x2＋3?2(3)y′＝(excos x＋sin x)′＝(excos x)′＋(sin x)′ ＝(ex)′cos x＋ex(cos x)′＋cos x ＝excos x－exsin x＋cos x. 1
(4)y′＝3x2＋.
xln 10
[一点通] 应用基本初等函数的导数公式和求导的四则运算法则可迅速解决一些简单函数的求导问题，要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确熟记公式，还要注意挖掘知识的内在联系及其规律．对比较复杂的求导问题，可先进行恒等变形，再利用公式求导．
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