第4章_弹性力学广义变分原理

??*??????B1??U(?)????fT?u?d????pT?udB?????T[??-ET(?)?u]d?????B2??B1

????T?udB??????T[?-ET(?)u]d??????T(u-u)dB?0在恒等式(3.2.1)中取???，u??u，得到

TTTT?E(?)?ud??[E(n)?]?udB??[E(?)?]?ud? ?????????B?从而有

??*??????B1??U(?)????fT?u???T[?-ET(?)u]??T???d????pT?udB????B2B1B??????T(u-u)dB????T?udB???[E(n)?]T?udB????[E(?)?]T?ud????U(?)?T?????????T?????E(?)?+f??u???T[?-ET(?)u]?d????????TT???[E(n)?-p]T?udB??????(u-u)?[?-E(n)?]?u???dBB2B1

由??*?0得到

E(?)?+f?0，

?内 ?内 ?内

?-ET(?)u?0，

?U(?)??T?0， ??

u-u?0，

B1上 B1上 B2上

?内 B上

?-E(n)??0，

E(n)?-p?0，

?从上述方程可知，对弹性力学的精确解来说，Lagrange乘子有明确的力学意义

???， ??E(n)?

，

因此泛函?可写成

?3(u,?,?)??*????U(?)d?????fTud??????T[??ET(?)u]d? (4.3.1)

??????pTudB????E(n)??(u-u)dBB2B1T我们称新泛函为三类变量的广义势能，也称该H-Z泛函，是由胡海昌1954年和鹫津一郎1955年分别提出来。 在三类变量的广义势能中有三类自变函数?,?,u,它们都是独立的。由此得到

三类变量的广义势能原理（胡-鹫津变分原理） 弹性力学的精确解应使上述的广义势能?3取驻值。

52

由三类变量的广义势能原理可以得到

E(?)?+f?0，

?内

?-ET(?)u?0，

T?内 ?内

???U(?)， ??

E(n)?-p?0， u-u?0，

B2上

B1上

也就是弹性力学的所有方程和边界条件（当然也包括本构关系）。

如果H-Z泛函?3中?和?并非独立,而是由本构关系确定,譬如说满足

T ??a?,U(?)?1?a??V(?) 2那么代入?3的表达式

TTT?*?V(?)d??fud???[a?-E(?)u]d?3???????????????pTudB????E(n)??(u-u)dBB2B1TTTT??12????a?d?????fud??????E(?)ud????T

???pTudB????E(n)??(u-u)dBB2B1TTTTTT1???????E(?)u??a?-fud??pudB?p2????(u-u)dB???B2B1T此即为H-R变分原理中的泛函

?? ?2*???????TTTTT?ET(?)u?12?a?-fu?d????pudB???p(u-u)dB (4.3.2)

B2B1如果H-Z泛函中?事先满足平衡方程和应力边界条件, 也就是说

E(?)?+f?0， E(n)?-p?0，

?内

B2上

同时应用恒等式 可以得到

TTTT1?TT??*3??????E(?)u?2?a?-fu?d????pudB???p(u-u)dB?B2B1TTT1??????[E(?)?]u??a?-fu?2??d?

TTTT?E(?)ud??[E(n)?]udB??[E(?)?]ud? ?????????B?

????pudB???p(u-u)dB???pudBB2B1BTT1????????a?d??p2??udB??????B1TTT

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此即为最小余能原理中的泛函(负值)。

4.4 三类变量的广义余能原理

在两类变量的广义余能原理中，泛函为

?2????V(?)d?????[E(?)??f]Tud??????[E(n)?]udB???[E(n)?-p]udBB1B2TT

要求由本构关系得到应变?

?T??V(?) ??或者由几何关系得到应变

??ET(?)u

如果解除该约束条件(可以从两类变量的广义变分原理推广得到， 也可以直接从最小余能原理推广得到)，可以得到三类变量的广义余能泛函为

TT??3????????U(?)d??[E(?)?+f]ud???????????[E(n)?]udB???[E(n)?-p]udBB1B2TT (4.4.1)

在三类变量的广义余能中有三类自变函数?,?,u,它们都是独立的。由此得到

三类变量的广义余能原理：弹性力学的精确解应使上述的广义余能取驻值。 由三类变量的广义余能原理也可以得到弹性力学的所有方程和边界条件。

下面我们来看三类变量广义势能泛函和三类变量广义余能泛函之间的关系。把(4.3.1) 和(4.4.1)相加有

?3??3????[E(?)?]Tud????[E(n)?]TudB?B2?????TET(?)ud?????E(n)??udB?B1T

????[E(?)?]Tud????[E(n)?]TudB?????TET(?)ud??B??0最后等式可从恒等式(3.2.1) 得到。这意味着三类变量的广义势能原理和三类变量的广义余能原理是等价的。

4.5 各种变分原理综述

变分原理 最小势能原理 最小余能原理 连续条件 先 反 应力-应变关系 应变能形式 补 应变余能形式 补 平衡条件 反 先 54

两类变量广义变分原理(余能) 三类变量广义变分原理(势能)

反 反 反 补 反 反 注: 先指先决条件，补指补充条件，反指反应的规律。 4.6 广义变分原理的一个注意点

广义变分原理的获得为数值计算带来了方便，但是有一点要注意，在各种变分原理中，能量的表达方式不是任意，广义势能原理中能量要用应变的方式来表示，广义余能原理中能量要用应力的方式来表示。举个例子

例4.1: 如图所示, 等截面杆的长度为l,横截面面积为A,材料的杨氏模量为E，其中一边固定,一边受轴向集中力F作用.用广义变分原理求解。

图4.1等截面杆的拉伸

如果用最小势能原理求解，设

u(x)?ax

那么

??a,??Ea

代入到势能表达式

??1l2EaAdx?Fal 2?0根据最小势能原理

???EalA?a?F?al?0

从而得到

a?F,EAu?ax?Fx EA如果用三类变量广义变分原理，假设位移，应变和应力的试函数为

u(x)?ax?b,?(x)?cx?d,?(x)?ex?f

2取应变能为U?1，那么 E?221?3???E(cx?d)?(ex?f)(cx?d?a)????Adx?F(al?b)?fbA 0?2l由

??3?0

a?F/EA,d?F/EA, u?Fx/EA,得到六个方程，求解后得到

f?F/A,b?c?e?0

因此

??F/EA,??F/A

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