第4章_弹性力学广义变分原理

约束条件使得与之相对应的数值计算变得十分麻烦。为了消除最小余能定义中应力约束条件的影响，我们引进入Lagrange乘子函数

??R

3，

?内

??R3，

*

B2上

来构造一个新的泛函?

?B1?*(?,?,?)????V(?)d????[E(n)?]TudB????[E(?)??f]?d????[E(n)??p]?dB?B2TT

在新泛函中?,?,?都是独立的自变函数。新泛函的变分为

??*??????V(?)??d????[E(n)??]TudB????[E(?)??]T?d????[E(n)??]T?dB??B1?B2?B2

????[E(?)??f]T??d????[E(n)??p]T??dB在恒等式(3.2.1)中取????，u??得到

???(??)?TET(?)?d????[E(n)??]T?dB????[?E(?)??]T?d?

B?因此

??*?????B?V(?)??d????[E(n)??]TudB????(??)TET(?)?d???B1?

B2???[E(n)??]T?dB???[E(n)??]T?dB????[E(?)??f]T??d????[E(n)??p]T??dB?B2也就是说

??*??????B1T???V(?)??ET(?)?????d?????[E(?)??f]T??d??????TTT

???[E(n)??](??u)dB???[E(n)??](???)dB???[E(n)??p]??dBB2B2要求???0，根据变分引理，可以得到

*??V(?)?T ??E(?)??0， ????? E(?)??f?0，

??u，

T在区域?上 在区域?上 在位移边界B1上 在应力边界B2上 在应力边界B2上 在区域?上

???，

E(n)??p，

T如果?是精确解的话，那么

E(?)???，

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??u，

在位移边界B1上

*

因此，?可以选择位移u，从而?在B2上也应该是位移u。

我们可以把得到的拉格朗日乘子函数α和β用位移u代入到泛函?的表达式中，得到二类变量的广义余能表达式

?2(?,u)????V(?)d?????[E(?)??f]Tud??????pTudB???[E(n)??p]TudB (4.2.1)

B1B2对于线弹性体有

TT1?*2(??u)?2????a?d?????[E(?)??f]ud??????pudB???[E(n)??p]udBB1B2TT (4.2.2)

(比较一下二类变量的广义势能表达式:

TTTT1?*(?,u)??2??????E(?)u?2?a??fu??d?????pudB???p(u-u)dBB2B1TT )

在二类变量的广义余能表达式中，u和?是独立的变量，它们事先不需要满足任何约束条件。二类变量广义余能泛函比最小余能泛函多了一类自变函数，最小余能中自变函数只有应力?，而在二类变量广义余能中，自变函数为应力?和位移u。因此，通过引进拉格朗日函数，我们把有约束的最小余能定理转化成了一个没有约束的自由变分问题，也就是二类变量广义余能原理。

二类变量的广义余能原理 弹性力学的精确解应该使得上述二类变量的广义余能(4.2.1)取驻值。

下面我们来看，从二类变量广义余能定理中，我们能得到些什么样的方程和什么样的边界条件?

TTT1??*2?2????a??d?????[E(?)??f]?ud?????[E(?)??]ud????????pudB???[E(n)??p]?udB???[E(n)???p]udBB1B2B2TTT

在恒等式(4.2.1)中取????，u?u得到

TTTT(??)E(?)ud??[E(n)??]udB?[?E(?)??]ud? ?????????B?因此有

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TTT1??*2?2????a??d?????[E(?)??f]?ud?????[?E(?)??]ud????????pTudB???[E(n)??p]T?udB???[E(n)??]TudB???[E(n)??]TudBB1B2B2B?12??????B1T???E(?)u?a???d?????[E(?)??f]?ud??B2TT

????pT(u-u)dB???[E(n)??p]T?udB根据??2?0我们有

*ET(?)u=a?，

在区域?上

在区域?上

E(?)?+f?0，

u=u，

在位移边界B1上

在应力边界B2上

E(n)?=p，

应力边界条件。

也就是说，从二类变量广义余能定理中我们能够得到几何方程、平衡方程、位移边界条件和

二类变量广义势能原理和二类变量广义余能原理统称为二类变量广义变分原理，它们分别是最小势能原理和最小余能原理的推广，是最小势能原理和最小余能原理的无条件变分问题。如果位移事先满足几何关系和位移边界条件，那么广义变分原理退化成最小势能原理。如果应力满足平衡方程和应力边界条件，那么广义变分原理退化成最小余能原理。

在上面二类变量广义势能原理和二类变量广义余能原理中，由于泛函不再是自变函数的正定二次型形式，因此不再具有极值性质，而只能是驻值性质。

?*中，当u在位移边界B1上满足u=u（满足位移边界条件）后，固定u在广义势能?2?*尽可能大，这样得到了总势能?(u)；然后再利用最小势能原理可得真实的调整?使得?2?*取极大-极小值∶ 解是使得广义势能?2?*(u,σ)?(u)?max?2

σ,B1:u?u?*(u,σ)min?(u)?minmax?2uuσ,B1:u?u (4.2.3)

在广义余能?2中，

??2??????V(?)??d?????[E(?)??f]T?ud?????[E(?)??]Tud?????????pTudB???[E(n)??p]T?udB???[E(n)??]TudBB1B2B2????{[??V(?)?(ET(?)u)T]???[E(?)??f]T?u}d??????(u?u)T?pdB???[E(n)??p]T?udBB1B2（4.2.4）

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固定u, 那么?2对?取极小值（假定本构关系事先满足，即?T??V(?)）， ????ET(?)u,u?u,onB1代入（4.2.1）

in? （4.2.5）

?2(?,u)????[?T??U(?)]d?????[E(?)??f]Tud??????pTudB???[E(n)??p]TudBB1B2????[fTu?U(?)]d????pTudB?B2 （4.2.6）

???(u)即

min?2(u,?)???(u)?max??(u)?maxmin?2(u,?)uu （4.2.7）

?而固定?，?2对u没有极小性质。

对于弹性力学的精确解，可以证明

?2??2?0 （4.2.8）

4.3 三类变量的广义势能原理

由最小势能原理，势能表达式 ?(u)?中，要求位移满足

TT??U(?)?fud??p??????udB ??B2??ET(?)u， ?内

u?u， B1上

此外，还隐含应力?要求由本构关系得到 ?T??U(?) ??6在最小势能原理中引进Lagrange乘子函数， ??R

， ?内

??R3， B1上

消除位移约束后得到一个新的泛函

TTTTT??*?????U(?)?fud??pudB??[?-E(?)u]d??????????(u-u)dB ???B2?B1其对应的变分为

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