江门调研高二数列与导数解答题

1、（2013文）⒚⑴（法一）依题意an?1?2?2an?2?2??2分， an?1?2?2(an?2)??3分，且a1?2?1?0??4分， 所以，?an?2?是等比数列??5分

（法二）设cn?an?2??1分，则an?cn?2，an?1?cn?1?2??2分，

所以?n?N?，cn?1?2?2(cn?2)?2??3分，cn?1?2cn，c1?1?0??4分， 所以，?cn?即?an?2?是等比数列??5分

⑵由⑴得an?2?2n?1??6分，an?2n?1?2，bn?n?an?n?2n?1?2n??7分， 设数列?bn?的前n项和为Sn，即

Sn?(1?20?2?1)?(2?21?2?2)?(3?22?2?3)??(n?2n?1?2n)??8分

?[1?20?2?21?3?22???(n?1)?2n?2?n?2n?1]?2?(1?2?3???n)??9分

n(n?1)?n(n?1)??10分 2记Tn?1?20?2?21?3?22???(n?1)?2n?2?n?2n?1，则

其中2?(1?2?3???n)?2?2Tn?1?21?2?22?3?23???(n?1)?2n?1?n?2n??11分，

两式相减得Tn??(20?21?22???2n?1)?n?2n?(n?1)?2n?1??12分 所以Sn?(n?1)?2n?n2?n?1??13分

2、（2014文）⒚⑴依题意，2?0?a1?1?0，2an?an?1?1?0（?n?N?）??2分

所以a1?1，an?1?2an?1??3分

an?1?1?2an?1?1?2(an?1)??4分

a1?1?2?0??5分，所以? an?1 ?是等比数列??6分

⑵由⑴得an?1?2n??7分，依题意，Sn??2Sn?1?nn?n??8分 an?121223n?1n???????9分 22232n?12n23n?1n?2???n?2?n?1??11分 22221211n??????12分 222n?12n两式相减得：Sn?1???2?n?2??13分． 2n3、（2012文）⒙⑴由a1?a3?5，a1a3?4解得

a1?1，a3?4或a1?4，a3?1??1分，

因为{an}递增，所以a1?1，a3?4??2分。

{an}是等比数列，设公比为q，则a3?a1q2??3分，

即4?1?q2，解得q??2??4分，因为{an}递增，所以q?2??5分， 所以数列?an?的通项公式为an?a1qn?1?2n?1??6分。 ⑵bn?log2an?1?2n?1??8分，

b1?b2?b3???bm?1?(2m?1)?m?m2??10分， 2b45?89??11分，b1?b2?b3???bm?b45即m2?89，m?89??12分，

正整数m的最大值为mmax?9??13分。

4、（2011文）21.⑴a2、a5是方程x2?12x?27?0的两个根， 所以a2?3、a5?9或a2?9、a5?3??1分，

因为?an?是正项等差数列，所以?an?的公差d?0，a2?3、a5?9??2分。 由a2?a1?d?3、a5?a1?4d?9解得a1?1、d?2??3分， 所以?an?的通项公式为an?1?(n?1)?2?2n?1??4分。 由Tn?1?bn??①，取n?1，b1?1?b1，得b1???5分，

111?n?N?，Tn?1?1?bn?1??②，②-①得Tn?1?Tn?bn?bn?1?bn?1??6分，

222121223121bn?1?bn，?bn?是首项为b1?、公比q?的等比数列??7分，

333bn?2??8分。 3n2(2n?1)??9分， n38n??11分， n?13⑵由⑴知，cn?an?1?bn?cn?1?cn?23n?1?[(2n?3)?3?(2n?1)]??所以?n?N?，cn?1?cn，?cn?是递减数列??13分．

注：第⑵问也可用数列的函数属性，通过函数的单调性证明。

cn?an?1?bn?2(2n?1)??9分， n3构造函数f(x)?2(2x?1)，x?1??10分， x3f/(x)?4?(4x?2)ln3??11分，

3x因为x?1，ln3?1，所以f/(x)?0??12分， 所以f(x)单调递．从而?cn?是递减数列??13分．

5、（2013理）⒚⑴设?an?的公差为d（d?0），

?a1?(a1?d)?(a1?2d)??3依题意，???2分，

a?(a?d)?(a?2d)?81?11?a1??4?a1?2?a1?d??1即?，解得?或???4分，

d?3d??3a?(a?2d)??8???11?a1??4d?0因为，所以?，?an?的通项an??7?3n??5分

d?3?⑵由⑴得a1??4，|a1|?4；a2??1，|a2|?1??6分；

当n?3时，an?0，|an|?an??7分，所以S1?4，S2?5??8分 当n?3时，Sn?S2?(a3??an)?5?[2???(?7?3n)]??9分，

?5?2?(?7?3n)311?(n?2)?n2?n?10??11分， 222??4 , n?1,? n?2,??12分． 综上所述，Sn??5 , ?311?n2?n?10 , n?3.2?2

6、（2014理）⒘⑴n?1时，a1?S1??9??1分

n?1时，an?Sn?Sn?1??3

分

?n3?10n2?[(n?1)3?10(n?1)2]?3n2?23n?11??5分

n?1时，3n2?23n?11??9??6

分

所以，?n?N?，an?3n2?23n?11??7分 ⑵（方法一）由⑴得an?3n2?23n?11?0??8分 所以

23?39723?397?n???10分 2?32?323?39723?397?1，7?） ?8??12分”2?32?3因为?n?N?，所以1?n?7??12分 （或“0?所求集合?n|an?0 , n?N????1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7???13分

（方法二）设f(x)?x3?10x2，x?[1 , ??)，则f/(x)?3x2?20x??10分

由f/(x)?3x2?20x?0，得0?x?由0?n?1?20??11分 320，?n?N?得n?2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7??12分， 3a1?S1??9?0，a8?S8?S7?19?0，

所以?n|an?0 , n?N????1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7???13分 7、（2011理）⒘⑴设?an?的公比为q，则a4?a1q3??2分， 解得q?2??3分，所以，an?a1qn?1?2n?1??5分 ⑵记T?a1?2a2?3a3????nan

?1?2?2?3?22???(n?1)?2n?2?n?2n?1??6分，

则2T?1?2?2?22?3?23???(n?1)?2n?1?n?2n??8分， 前式减后式得，?T?1?2?22???2n?1?n?2n??10分，

?(1?n)?2n?1??11分，所以，所求之和T?(n?1)?2n?1??12分

8、（2012理）⒚⑴依题意，a1?0……1分，a2?2a1?1?1……2分

⑵n?1时，由得a1?0?21?1?1，命题成立……3分， 假设当n?k(k?N?)时命题成立，即ak?2k?1?1……4分， 因为Pk(ak , ak?1)在直线y?2x?1上，所以ak?1?2ak?1……6分，

?2?(2k?1?1)??2(k?1)?1?1，所以，当n?k?1时命题成立……7分。

综上所述，对于一切正整数n，an?2n?1?1……8分。 ⑶（方法一）依题意bn??3?4n?1an?1?an?2?(an?1?an)……10分， 2?2n?13?(1?4n)1?2n?……11分，Sn?……13分， 1?41?2?4n?2n……14分。

（方法二）依题意，Sn是直线 l 与直线x?a1、

x?an?1、x轴围成的梯形的面积……10分，

Sn?

a2?an?2?(an?1?a1)……12分，?4n?2n……14分。 2