二元一次不等式与平面区域的教案

《3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域》教案

单县一中 朱瑞朋

教学目标：

1、知识与技能：（1）.使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用

二元一次不等式组表示平面区域；

（2）.能画出二元一次不等式（组）所表示的平面区域.。 2、过程与方法：经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学

建模能力。

3、情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学

习兴趣。

教学重点：二元一次不等式(组)表示平面区域。

教学难点：二元一次不等式(组)表示平面区域的画法。 教学方法：启发探究式教学

教学用具：ppt课件、多媒体计算机、实物展台、学案、直尺与三角板。 教学过程：

一、导入新课，板书课题。

师 ：在现实生活和数学中，我们会遇到各种不同的不等关系，需要用不同的数学模型来刻画和研究它们.我们知道一元一次方程的根可以表示为数轴上的一个点，对应地，一元一次不等式的解集可以表示为数轴上的一个区间；在学习了直线方程之后，我们知道在直角坐标系内，二元一次方程的解集可以表示为一条直线，对应地，二元一次不等式的解集可以表示什么呢图形呢？这节课我们就来共同研究“3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域”板书课题。我们先来看实例：

实例：一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000元用于企业和个人贷款，希望这笔

贷款资金至少可带来30 000元的效益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%，那么，信贷部应该如何分配资金呢？

问题1：假如你是信贷员，你应该如何分配金额？贷给企业和个人各是多少？这个例子中

有多少个不等关系？试一试用不等式写出来。（提示：含有多个不等关系，写不等式时要写成不等式组）。

处理方式：让学生板演，巡视并解答一部分学生的疑问。

师 这个问题中存在一些不等关系，我们应该用什么不等式模型来刻画它们呢？ 生 设用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元，由资金总数为25 000 000元，得到x+y≤ 25 000 000.

师 由于预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%.共创收30 000元以上，所以 (12%)x+(10%)y≥ 30 000，即12x+10y≥ 3 000 000.

师 最后考虑到用于企业贷款和个人贷款的资金数额都不能是负数，于是 生 x≥ 0,y≥ 0.

师 将①②③合在一起，得到分配资金应该满足的条件：

,?x?y?25000000?12x?10y?3000000,? ??x?0,??y?0.

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问题2：对于不等式“x+y≤25 000 000”，我们以前见过吗？联想与不等式“x ≤3”

的区别，给它起个名字，并给出定义。

二、得出概念探究结论：

1.、二元一次不等式：我们把含有两个未知数，且未知数的次数是1的不等式（组）称

为二元一次不等式（组）.

2、二元一次不等式组：我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元

一次不等式组

问题3：类比一元一次不等式的解，给出二元一次不等式（组）的解集的概念。 3、二元一次不等式（组）的解集：

满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序数对(x,y)，所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集.有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标.于是，二元一次不等式（组）的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合. 4探究：我们知道，一元一次不等式（组）解集可以表示为数轴上的区间，那么，

在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形呢？以一个具体的二元一次不等式x-y<6的解集所表示的图形为例来研究。

(1)问题: 二元一次不等式x?y?6所表示的图形?

(2)尝试:在直角坐标系中,所有点被直线x?y?6分成三类:一类是在直线x?y?6上;二类是在直线x?y?6左上方的区域内的点;三类是在直线x?y?6右上方的区域内的点. 设点P(x,y1)是直线上的点,任取点A(x,y2),使它的坐标满足不等式x?y?6,在下图中标出点P和点A.填下表 横坐标X -3 点P的纵坐标y1 点A的纵坐标y2 -2 -1 0 1 2 3 (3)观察并讨论

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y A x-y=6 x o P

我们发现,在直角坐标系中,以二元一次不等式x?y?6的解为坐标的点都在直线的左上方;反之,直线左上方点的坐标也满足不等式x?y?6.因此,在直角坐标系中,不等式

x?y?6表示直线x?y?6左上方的平面区域.类似地, 不等式x?y?6表示直线x?y?6右上方的平面区域.我们称直线x?y?6为这两个区域的边界.将直线x?y?6画成虚线,表示区域不包括边界.

(4)结论

一般地, 在直角坐标系中,二元一次不等式Ax?By?C?0表示Ax?By?C?0某侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线,表示区域不包括边界. 而不等式Ax?By?C?0表示区域时则包括边界,把边界画成实线.

三、知识应用［例题剖析］

师 【例1】 画出不等式x+4y＜4表示的平面区域. 分析：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。特别是，当C?0时，常把原点（0，0）作为测试点。

处理方式：师生共同解决，指导学生应用“直线定界，特殊点定域”的方法解题。

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师 解：先画直线x+4y-4＝0(虚线)，把原点(0，0)代入x+4y-4＝0－4＜0，因为x+4y-4＜0，说明原点在要求的区域内，不等式x+4y-4＜0表示的平面区域与原点在直线x+4y-4=0的一侧，即直线x+4y-4=0的左下部分的平面区域.

师 在确定这两个点集的交集时，要特别注意其边界线是实线还是虚线，还有两直线的交点处是实点还是空点.

变式演练1：作出下列二元一次不等式或不等式组表示的平面区域. (1)x－y＋1＜0.

(2)2x＋3y－6＞0.

师 【例2】 用平面区域表示不等式组??y＜－3x?12,的解集.

?x＜2y处理方式：引导学生分析问题，鼓励学生独立解决。

师 分析：由于所求平面区域的点的坐标要同时满足两个不等式，因此二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，就是各个不等式表示的平面区域的公共部分。

生 解：不等式y＜-3x+12表示直线y=-3x+12下方的区域；不等式x＜2y表示直线y?方的区域.取两个区域重叠的部分，下图中的阴影部分就表示原不等式组的解集.

x上2

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