2020届东北三省三校哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学高三第一次联合模拟考试数学

（Ⅱ）设M1??入即得解. 【详解】

?1??1?,y1?、N??,y2?，用坐标表示S1、S2、S3，利用韦达定理，代?2??2?eP半径为R，（Ⅰ）设P(x,y)，则R?x?11|PF|?R?，，所以点P到直线x??1222的距离与到F(1,0)的距离相等，故点P的轨迹方程C为y?4x. （Ⅱ）设M?x1,y1?，N?x2,y2?，则M1??2?1??1?,y1?、N??,y2? ?2??2?2设直线MN：x?ty?n（t?0）代入y?4x中得y?4ty?4n?0

y1?y2?4t，y1y2??4n?0

∵S1?1111x1??y1、S3?x2??y2 2222??1??1?x???1?y1y2 2??2?∴4S1S3??x1?1??1????ty1?n???ty2?n??y1y2

2??2??2?21?1??????ty1y2??n??t?y1?y2???n?????4n

2?2???????2??11????22???4nt?4t?n????n????4n

2??2??????2?2?1????2t??n????4n

2??????又S2?1111n??y1?y2?n??22222?y1?y2?22?4y1y2 1?1?1??∴S??n????16t2?16n??4?n????t2?n? 4?2?2??221?1?1??2S2?4S1S3?8nt2?4?n??t2?2n??n???n?

2?2?2??∴直线MN恒过?,0? 【点睛】

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22?1?2??本题考查了直线和抛物线综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 21．设函数Ⅰ求函数Ⅱ记函数【答案】（I）

的单调区间； 的最小值为在

，证明：

．

上单调递增；（II）详见解析.

．

上单调递减，在

【解析】（I）对函数（II）由（I）先得到构造函数【详解】 （Ⅰ）显然

求导，解导函数所对应的不等式即可求出结果； ，要证

，即证明

，即证明的最小值即可.

，

，用导数的方法求函数

的定义域为．

．

∵∴若若

，，，在

，

，此时，此时

，，

在在

上单调递减；

上单调递增；

上单调递增． ，

．

综上所述：上单调递减，在

（Ⅱ）由（Ⅰ）知： 即：要证令∵∴当当∴∴【点睛】

．∴

．

，，

，此时，此时

，即证明

，即证明

，则只需证明

，且，，

， 在在

， ，

上单调递减；

上单调递增，

．

本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.

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?x?cos?xOy22．在直角坐标系中，参数方程为?（其中?为参数）的曲线经过伸缩

y?sin???变换?：?x??2x,得到曲线C.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲?y?y?线D的极坐标方程为?sin???????310??4?2.

（Ⅰ）求曲线C的普通方程及曲线D的直角坐标方程；

（Ⅱ）设M、N分别为曲线C和曲线D上的动点，求|MN|的最小值.

x2【答案】（Ⅰ）曲线C的普通方程为?y2?1；曲线D的极坐标方程为

42310；（Ⅱ）10. (?sin???cos?)?22【解析】（Ⅰ）消去参数即得曲线C的普通方程，利用极坐标与直角坐标互化公式，即得曲线D的直角坐标方程；

（Ⅱ）设M(2cos?,sin?)，表示点到直线距离，利用辅助角公式求最小值. 【详解】

?x?2cos?（Ⅰ）曲线C的参数方程为?（其中?为参数），

y?sin??x2因此，曲线C的普通方程为?y2?1，

4曲线D的极坐标方程为

2310， (?sin???cos?)?22因此，曲线D的直角坐标方程为x?y?35?0.

（Ⅱ）设M(2cos?,sin?)，则|MN|的最小值为M到直线x?y?35?0的距离为

d，

d?|2cos??sin??35||5sin(???)?35|， ?22当sin(???)?1时，

|MN|最小值为10.

【点睛】

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本题考查了极坐标、参数方程与直角坐标互化，以及参数方程在求最值中的应用，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 23．设函数f(x)?|x?2|?|x?3|. （Ⅰ）求不等式f(x)?9的解集；

（Ⅱ）若关于x的不等式f(x)?|3m?2|有解，求实数m的取值范围. 【答案】（Ⅰ）?x|x?5或x??4?；（Ⅱ）m??1或m?【解析】（Ⅰ）将绝对值函数分段表示，分别求解即可；

（Ⅱ）利用绝对值不等式的性质|x?2|?|x?3|?5，转化为|3m?2|?5，求解即可. 【详解】

7. 3??2x?1,x??2?（Ⅰ）f(x)??5,?2?x?3，

?2x?1,x?3?当x??2时，?2x?1?9，解得x??4，所以x??4； 当?2?x?3时，5?9，解得x??；

当x?3时，2x?1?9，解得x?5，所以x?5， 综上所述，不等式f(x)?9的解集为?x|x?5或x??4?. （Ⅱ）∵|x?2|?|x?3|?|x?2?(x?3)|?5 （当且仅当(x?2)(x?3)?0即?2?x?3时取等） ∴|3m?2|?5?m??1或m?【点睛】

本题考查了绝对值不等式的求解和恒成立问题，考查了学生转化化归，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.

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