离散数学王元元习题解答(5)

＝（A - B）? C ＝（A - B）- C

—

A -（B ? C）＝A ?（B ? C）

——

＝A ? B? C

——

＝A ? C? B

—

=（A - C）? B ＝（A - C）- B

故A-（B ? C）＝（A - B）- C＝（A - C）- B得证。

—

（2）（A ? B）- C ＝ A ? B ? C

—

＝ A ?（B ? C） ＝ A ?（B - C）

—

（A ? B）- C ＝ A ? B ? C

—

＝ A ? C? B ＝（A - C）? B

故（A ? B）- C = A ?（B- C）=（A - C）? B得证。

（3）ⅰ）设（A - B）- C＝A -（B - C）成立，为证A ? C = ?，反设有x?A ? C，则x?A 且x?C。而：

————

（A - B）- C＝A ? B? C，所以x? A ? B? C，从而x?（A - B）- C；

————

A -（B - C）＝A ?（B ? C）＝A ?（B? C）＝（A ? B）?（A ? C），由假设

—

x?A ? C，则x?（A ? B）?（A ? C），从而x ? A -（B - C）。

这与（A - B）- C＝A -（B - C）矛盾，所以假设不成立，故A ? C = ?得证。

ⅱ）设A ? C = ?，此时设x为A中的任一元素，即x?A，则x ? C，所以A - C＝A，那么：

———————

（A - B）- C＝（A - B）?C＝A ? B? C＝A ? C? B＝（A - C）? B＝A ? B；

—————

A -（B - C）＝A ?（B ? C）＝A ?（B? C）＝（A ? B）?（A ? C）＝A ? B 所以在A ? C = ? 时，（A - B）- C＝A -（B - C）。 综合ⅰ）、ⅱ），故（A - B）- C＝A -（B - C）当且仅当A ? C = ?得证。 （4）证：（A - B）- C＝（A - B）? C

——

＝A ? B? C

———

（A - C）-（B - C）＝（A ? C）?（B ? C）

——

＝（A ? C）?（B? C）

———

＝（A ? C? B）?（A ? C? C）

——

＝A ? B? C

故（A - B）- C＝（A - C）-（B - C）得证。

8．证明；对任意集合A，B下列命题等价， （1）A ? B

—

（2）A? B = U

—

（3）A ? B= ?

————

证：（1）?（2）：为证A? B = U，反设有x?（A? B），即x? A ? B，所以x? A

—

且x?B；而由A ? B知道x? A必有x? B，矛盾，故有A? B = U。

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—

—

——

（2）?（3）：因为A? B = U，所以对任一x，有x?A或x? B

——

ⅰ）若x?A，则x?A，那么x? A ? B

——

ⅱ）若x?B，则x?B，那么x? A ? B

——

即没有一个元素在集合A ? B中，所以A ? B= ?。

（3）?（1）：反证设A不包含于B，即有x? A且x?B，所以有x? A ? B，与已知A —

? B= ?矛盾。所以A ? B。

9．设A = ???，B = ?1，2?，求ρ（ρ（ρ（A））），ρ（ρ（B））。 解：A = ???，所以ρ（A）= ??，????，ρ（ρ（A））= ??，???，?????，??，?????， 故

ρ（ρ（ρ（A）））= ??，???，?????，???????，???，?????，??，????，??，??????，??，??，?????，????，??????，????，??，?????，??????，??，?????，??，???，??????，??，???，??，?????，????，?????，??，?????，??，?????，??，?????，??，???，?????，??，??????。

B = ?1，2?，所以ρ（B）= ??，?1?，?2?，?1，2??， 故ρ（ρ（B））= ??，???，??1??，??2??， ??1，2?? ，??，?1??，??，?2??，??，?1，2??，??1?，?2??，??1?，?1，2??，??2?，?1，2??，??，?1?，?2??，??，?1?，?1，2??，??1?，?2?，?1，2??，??，?2?，?1，2??，??，?1?，?2?，?1，2???。

10．对任意集合A，B。求证：

（1）A = B当且仅当ρ（A）=ρ（B） （2）ρ（A）?ρ（B）＝ρ（A ? B）

（3）ρ（A）?ρ（B）?ρ（A ? B） 证：（1）若A = B成立，那么有

x?ρ（A）? x ? A ? x ? B

? x ?ρ（B）

故有ρ（A）=ρ（B）；

若ρ（A）=ρ（B）成立，反设A ≠ B，那么有x? A且x? B（因为A，B为任意集合，所以作此假设是合理的），则?x??ρ（A），而ρ（A）=ρ（B），则?x??ρ（B），这与x? B矛盾。因此A = B。

综上所述，故A = B当且仅当ρ（A）=ρ（B）得证。

（2）x?ρ（A）?ρ（B）? x ? A ? x ? B ? x ? A ? B

? x ?ρ（A ? B） 故ρ（A）?ρ（B）＝ρ（A ? B）得证。 （3）x?ρ（A）?ρ（B）? x ? A ? x ? B ? x ? A ? B

? x ?ρ（A ? B） 故ρ（A）?ρ（B）?ρ（A ? B）得证。

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—

11. 若C = ??x?? x?B? 求?C。 解：?C= B。

12. 对下列诸C，求 ?C和?C。

（l）C =｛?｝ （2）C =｛?，｛?｝｝ （3）C =｛｛a｝，｛b｝，｛a,b｝｝ （4）C =ρ（ρ（N））

（5）若允许C = ?,请讨论?C和?C。 解：（1）?C= ?，?C= ?。 （2）?C=｛?｝，?C= ?。 （3）?C=｛a，b｝，?C= ?。 （4）?C=ρ（N），?C= ?。 （5）?C=｛x | ?s (s ? C ? x ? s)｝，?C=｛x | ?s (s ? C ? x ? s)｝，那么当C = ?时,C中无任何元素，则此时

?C?? ， ?C?U

13．对任意非空集合族C1，C2，证明： （1）(?C1)?(?C2)??(C1?C2)

（2）(?C1)?(?C2)???S1?S2:S1?C1?S2?C2? （3）(?C1)?(?C2)???S1?S2:S1?C1?S2?C2?

（4）(?C1)?(?C2)??(C1?C2)

证 （1）x ??C1??C2? ?s (s ?C1? x ? s) ? ?s (s ?C2? x ? s) ? ?s (s ?C1? x ? s) ? (s ?C2? x ? s) ? ?s (s ?(C1?C2)? x ? s) ??(C1?C2) 因此， (?C1)?(?C2)??(C1?C2)。

（2）设x?(?C1) ? (?C2)，那么x?(?C1)且x?(?C2)，则：

?s (s ?C1? x ? s)且?s (s ?C2? x ? s)，

那么有：

?(s1 ? s2)(s ? (s1 ? s2) ? x ? s ? s1 ?C1? s2 ?C2)，

则：x ??{ s1 ? s2| s1 ?C1? s2 ?C2}，即有(?C1) ? (?C2) ??{ s1 ? s2| s1 ?C1? s2 ?C2}；

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且以上推导均可逆，故有(?C1)?(?C2)??{ s1 ? s2| s1 ?C1? s2 ?C2}。

（3）设对于任一x ?(?C1)?(?C2)，则对任一s1 ?C1有x ? s1或对任一s2 ?C2有x ? s2，那么对任一s1 ? s2（s1 ?C1，s2 ?C2）有x ? s1 ? s2，因此：

x ??{ s1 ? s2| s1 ?C1? s2 ?C2}，所以(?C1)?(?C2)??{ s1 ? s2| s1 ?C1? s2 ?C2}，且以上推导均可逆，故有(?C1)?(?C2) =?{ s1 ? s2| s1 ?C1? s2 ?C2}。

（4）仿上题，易证(?C1)?(?C2)??(C1?C2)；

而对任一s，s?C1?C2，有x?s，则对任一s1?C1，有x ? s1，且对任一s2?C2有x? s2，因此?(C1?C2)?(?C1)?(?C2)。

故有(?C1)?(?C2)=?(C1?C2)。

*14．对任意集合A，B，C，证明： （1）A ? A ? B = B （2）（A - B）? B = A ? B （3）（A ? B）? C =（A ? C） ?（B ? C） （4）（A ? B）? C =（A ? C） ?（B ? C） （5）（A ? B）– C =（A – C） ?（B – C） （6）A ? B = A ?（B ?（A ? B））

证 （1）A ? A ? B = ? ? B

= ( ? – B) ? (B – ?) = B

（2）(A–B) ? B = (A ? B–) ? B

= (A ? B–– B) ? (B – A ? B–) = (A ? B–) ? B

= (A ? B) ? (B– ? B) = A ? B

（3）(A ? B) ? C = (A– ? B) ? C

= (A–– B) ? (B –A–) ? C = (A–? B–) ? (A ? B) ? C (A ? C) ? (B ? C) = (A ? C) – ? (B ? C)

= ((A ? C) –– (B ? C)) ? ((B ? C) – (A ? C) –) = (A–? C–? B–? C–) ? ((B ? C) ? (A ? C)) = (A–? B–? C–) ? (A ? B) ? C = (A–? B–? C–) ? C ? (A ? B)

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