必修二学案全集

数学学案

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式，得：4x?3y?12?0，化成截距式，得：

xy??1． 34

例2：求直线l:3x?5y?15?0的斜率及x轴，

y轴上的截距，并作图．

【解】直线l:3x?5y?15?0的方程可写成

第3课 直线的方程（3）

【学习导航】

学习要求

（1）掌握直线方程的一般式

， Ax?By?C?0（A,B不同时为0）

理解直线方程的一般式包含的两方面的含义：①直线的方程是都是关于x,y的二元一次方程；②关于x,y的二元一次方程的图形是直线；

（2）掌握直线方程的各种形式之间的互相转化．

33y??x?3，∴直线l的斜率k??；y轴

55上的截距为3；当y?0时，x?5， ∴ x轴上的截距为5．图略．

例3：设直线l:(m2?2m?3)x?(2m2?m?1)y

?2m?6?0(m??1)根据下列条件分别确定m的值：（1）直线l在 x轴上的截距为?3；（2）直线l的斜率为1．

【解】（1）令y?0得 x?【课堂互动】

自学评价

2m?6，2m?2m?32m?651．直线方程的一般式Ax?By?C?0中，

??3，解得m??． 由题知，2m?2m?33m2?2m?3A,B满足条件 不全为零 ，当

（2）∵直线l的斜率为k??， 22m?m?1A?0，B?0时，方程表示垂直于 y轴 4m2?2m?3m??1∴?，解得． 232m?m?1B?0A?0的直线，当

，

时，方程表示垂

直于 x轴 的直线．

例4: 求斜率为

3，且与两坐标轴围成的三角形4【精典范例】

4例1：已知直线过点A(6,?4)，斜率为?，

3求该直线的点斜式和一般式方程及截距式方程．

的面积为6的直线方程． 【解】设直线方程为y?令y?0，得x??3x?b， 44b， 34【解】经过点A(6,?4)且斜率?的直线方

34程的点斜式y?4??(x?6)，化成一般

3

∴|b?(?4b)|?6，∴b??3， 3所以，所求直线方程为3x?4y?12?0或3x?4y?12?0．

1249 细节决定成败 课堂成就梦想

数学学案

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自主训练一

?1.已知直线l的倾斜角为60，在y轴上的

法2：将方程化为

(x?3y?11)?(2x?y?1)m?0，

当?截距为?4，求直线l的点斜式、截距式、斜截式和一般式方程．

答案：点斜式方程：y?4?3(x?0) 斜截式方程：y?3x?4 截距式方程：?x?3y?11?0?x?2即?时，以上方程恒成

y?32x?y?1?0??立，即定点P(2,3)的坐标恒满足原直线方程，因此，直线过定点P(2,3)．

例7：在例5中，能证明“直线恒过第三象限”

吗？

提示：直线恒过定点P(?三象限．

x433一般式方程：3x?y?4?0 【学习延伸】

一、直线经过象限问题

例5: 若直线(2t?3)x?2y?t?0不经过第二象限，求t的取值范围．

分析：可以从直线的斜率和直线在y轴上的截距两方面来考虑． 【解】直线方程可化为：

?y?1 ?413,?)，而P点在第24

思维点拔：

证明直线过定点问题，要找到一定点，证明其坐标始终满足直线方程即可，通常采用“例6”中的两种方法来寻求定点．

3ty?(?t)x?，

22

?3?t?0?3?2由题意得：?，解得0?t?．

2??t?0??2自主训练二

,qr?0，则直线px?qy?r?0不1．若pr?0经过（ C ）

二、直线过定点问题

例6：求证：不论m取什么实数，直线

(2m?1)x?(m?3)y?(m?11)?0恒过定

点，并求此定点坐标． 【解】法1：令m?(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

2．若直线mx?ny?1?0经过第一、二、三象限，求实数m,n满足的条件． 答案：将直线方程化为：y??1得y?3；令m??32得x?2；两直线交点为P(2,3)，将点

P(2,3)坐标代入原直线方程，得 (2m?1)?2?(m?3)?3?(m?11)?0恒

成立，因此，直线过定点P(2,3)．

m1x?(n?0)，nn?m??0??m?0?n??由已知可得?；

1n?0???0??n当n?0时，直线方程为mx?1?0，不满足条

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