(浙江专用)2020版高考数学新增分大一轮复习第二章不等式2.5绝对值不等式讲义(含解析)

方法二 |x－1|＋|x＋2|表示数轴上的点x到点1和点－2的距离的和，如图所示，数轴上到点1和点－2的距离的和为5的点有－3和2，故满足不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的x的取值范围为x≤－3或x≥2，所以不等式的解集为{x|x≤－3或x≥2}．

31*

4．设不等式|x－2|

22答案 1

31

解析 ∵∈A，且?A，

22

?3??1?∴?－2?

13*

解得

22思维升华解绝对值不等式的基本方法

(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式．

(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式．

(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解． 题型二 利用绝对值不等式求最值

例1 (1)(2018·浙江温州十校联考)对于任意实数a和b(b≠0)，不等式|a＋b|＋|a－

b|≥|b|(|x－1|＋|x－2|)恒成立，则实数x的取值范围是________．

?15?答案 ?，? ?22?

|a＋b|＋|a－b||a＋b|＋|a－b|

解析 原不等式可化为≥|x－1|＋|x－2|恒成立，令m＝.由

|b||b||a＋b|＋|a－b|≥|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|，得m≥2，当且仅当(|a|＋|b|)·(|a|－15

|b|)≤0，即|a|≤|b|时，取等号，所以有|x－1|＋|x－2|≤2，解得≤x≤，即实数x的取

22

?15?值范围是?，?.

?22?

??p，p≥q，

(2)(2018·温州联考)记max{p，q}＝?

?q，p

设M(x，y)＝max{|x＋y＋1|，|y－x＋

22

1|}，其中x，y∈R，则M(x，y)的最小值是________． 3

答案 4

解析 由已知得M(x，y)≥|x＋y＋1|，M(x，y)≥|y－x＋1|，则2M(x，y)≥|x＋y＋1|＋

5

2

2

2

|y－x＋1|

≥|(x＋y＋1)＋(y－x＋1)|＝|x－x＋y＋y＋2|

2

2

2

2

2

??1?2?1?23?3＝??x－?＋?y＋?＋?≥， ??2??2?2?2

3

则M(x，y)≥.

4

113当x＝，y＝－时，M(x，y)＝，

2243所以M(x，y)的最小值为.

4

思维升华求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种 (1)利用绝对值的几何意义．

(2)利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥|a|－|b|. (3)利用零点分区间法．

跟踪训练1 (1)(2018·浙江金华一中模拟)若关于x的不等式|x＋t－2|＋|x＋t＋2t－1|<3t无解，则实数t的取值范围是( )

2

2

?1?A.?－，1? ?5?

C．(－∞，1] 答案 C

B．(－∞，0] D．(－∞，5]

解析 由题意，得当t≤0时，该不等式无解；当t>0时，因为|x＋t－2|＋|x＋t＋2t－1|≥|x＋t－2－(x＋t＋2t－1)|＝2t＋1，要使原不等式无解，则需3t≤2t＋1，解得0

?x，x≤y，?

??y，x>y，

2

2

22

已知x是不为2或8的

?21?

?，则S的最大值为________． ，实数，若S＝min?

?|x－2||x－8|?

1答案

2

?21?212

?，所以0

|x－2||x－8|S?|x－2||x－8|?

13

≥|x－2|且≥|x－8|，所以≥|x－2|＋|x－8|≥6.当且仅当(x－2)·(x－8)<0时等号成

SS11

立，得S≤，所以S的最大值为.

22题型三 绝对值不等式的综合应用

例2(2018·浙江省杭州重点中学期中)已知函数f(x)＝x|x－a|－1.

6

(1)当a＝1时，解不等式f(x)

12

(2)当x∈(0,1]时，f(x)≤x恒成立，求实数a的取值范围．

2解 (1)当a＝1时，f(x)＝x|x－1|－1， 由不等式f(x)

②当x<1时，不等式化为x(1－x)

综上，不等式的解集是{x|x<2}．

12

(2)由题意得x|x－a|≤x＋1当x∈(0,1]时恒成立，

211

所以|x－a|≤x＋当x∈(0,1]时恒成立，

2x1131

即x－≤a≤x＋当x∈(0,1]时恒成立． 2x2x11

令g(x)＝x－，则g(x)在(0,1]上单调递增，

2x1

故g(x)≤g(1)＝－.

231又x＋≥22x31

x·＝6， 2x22

316

当且仅当x＝，即x＝时等号成立，

2x31

所以－≤a≤6，m

2

?1?所以实数a的取值范围为?－，6?. ?2?

?4?例3(2018·湖州市五校模拟)已知对任意的x∈[1,4]，|x－1|＋?x＋－m?－x＋m≤4恒成

?

x?

立，则m的取值范围为________________． 9??答案 ?－∞，?

2??

?4??4?解析 由x∈[1,4]，可知x－1≥0恒成立，可得x－1＋?x＋－m?－x＋m≤4，即?x＋－m?

?

x??

x?

4

＋m－1≤4，令t＝x＋∈[4,5]，即|t－m|＋m－1≤4，t∈[4,5]恒成立，由绝对值的几何意

x 7

99

义知，当m≤时，|t－m|max＝5－m，即5－m＋m－1≤4恒成立，当m>时，|t－m|max＝m－4，

229

即m－4＋m－1≤4，即m≤，不符合题意，

29

综上m的取值范围是m≤. 2

思维升华(1)恒成立问题可转化为函数的最值问题．

(2)和绝对值有关的最值可以利用绝对值的性质进行改编或者化为分段函数解决． (3)和绝对值不等式有关的范围或最值问题，可利用绝对值的几何意义或绝对值三角不等式进行放缩．

(4)利用特殊点的函数值可探求范围；若函数解析式中含有绝对值，也可化为分段函数．

跟踪训练2(2016·浙江)已知a≥3，函数F(x)＝min{2|x－1|，x－2ax＋4a－2}，其中min{p，

??p，p≤q，q}＝?

?q，p＞q.?

2

2

(1)求使得等式F(x)＝x－2ax＋4a－2成立的x的取值范围； (2)①求F(x)的最小值m(a)；

②求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a)．

解 (1)由于a≥3，故当x≤1时，(x－2ax＋4a－2)－2|x－1|＝x＋2(a－1)(2－x)＞0， 当x＞1时，(x－2ax＋4a－2)－2|x－1|＝(x－2)(x－2a)．

所以，使得等式F(x)＝x－2ax＋4a－2成立的x的取值范围是[2,2a]．

(2)①设函数f(x)＝2|x－1|，g(x)＝x－2ax＋4a－2，则f(x)min＝f(1)＝0，g(x)min＝g(a)＝－a＋4a－2，

所以，由F(x)的定义知m(a)＝min{f?1?，g?a?}，

2

2

2

2

2

2

?0，3≤a≤2＋2，即m(a)＝?2

?－a＋4a－2，a＞2＋2.

②当0≤x≤2时，F(x)≤f(x)≤max{f?0?，f?2?}＝2＝F(2)． 当22，

??34－8a，3≤a＜4，

所以M(a)＝?

?2，a≥4.?

8