高考数学复习 第一章 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件 文（全国通用）1

第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件

考点一 四种命题及其关系

1．(2015·山东，5)若m∈R, 命题“若m>0，则方程x＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( )

A．若方程x＋x－m＝0有实根，则m＞0 B．若方程x＋x－m＝0有实根，则m≤0 C．若方程x＋x－m＝0没有实根，则m＞0 D．若方程x＋x－m＝0没有实根，则m≤0

解析 原命题为“若p，则q”，则其逆否命题为“若綈q，则綈p”．∴所求命题为“若方程x＋x－m＝0没有实根，则m≤0”． 答案 D

2．(2015·四川，15)已知函数f(x)＝2，g(x)＝x＋ax(其中a∈R)．对于不相等的实数x1，

x2

2

2222

2

f（x1）－f（x2）g（x1）－g（x2）

x2，设 m＝，n＝，

x1－x2x1－x2

现有如下命题：

①对于任意不相等的实数x1，x2，都有m＞0；

②对于任意的a及任意不相等的实数x1，x2，都有n＞0； ③对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝n； ④对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝－n. 其中真命题有________(写出所有真命题的序号)．

解析 设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x1，g(x1))，D(x2，g(x2))， 对于①：从y＝2的图象可看出，m＝kAB＞0恒成立，故正确； 对于②：直线CD的斜率可为负，即n＜0，故不正确； 对于③：由m＝n得f(x1)－f(x2)＝g(x1)－g(x2)， 即f(x1)－g(x1)＝f(x2)－g(x2)， 令h(x)＝f(x)－g(x)＝2－x－ax，

则h′(x)＝2·ln 2－2x－a，由h′(x)＝0，∴2·ln 2＝2x＋a，(*)结合图象知，当a很小时，方程(*)无解，∴函数h(x)不一定有极值点，就不一定存在x1，x2使f(x1)－g(x1)＝f(x2)－g(x2)，不一定存在x1，x2使得m＝n； 对于④：由m＝－n，得f(x1)－f(x2)＝g(x2)－g(x1)， 即f(x1)＋g(x1)＝f(x2)＋g(x2)，

xxx2

x

令F(x)＝f(x)＋g(x)＝2＋x＋ax，则F′(x)＝2ln 2＋2x＋a，

由F′(x)＝0，得2ln 2＝－2x－a，结合如图所示图象可知，该方程有解， 即F(x)必有极值点，∴存在x1，x2使F(x1)＝F(x2)，得m＝－n. 故①④正确． 答案 ①④

3．(2014·陕西，8)原命题为“若

xx2

xan＋an＋1

2

＜an，n∈N＋，则{an}为递减数列”，关于其逆命

题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( ) A．真，真，真 C．真，真，假

B．假，假，真 D．假，假，假

解析 从原命题的真假入手，由于

an＋an＋1

2

＜an?an＋1＜an?{an}为递减数列，即原命题和逆

命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A. 答案 A

4．(2013·陕西，6)设z是复数，则下列命题中的假命题是( ) A．若z≥0，则z是实数 C．若z是虚数，则z≥0

2

2

2

B．若z＜0，则z是纯虚数 D．若z是纯虚数，则z＜0

2

2

2

解析 由复数的运算可知若z≥0，则z一定是实数，A是真命题；若z＜0，则z一定是纯虚数，B是真命题；若z是虚数，则z可能还是虚数，则不能与0比较大小，C是假命题；若z是纯虚数，则z＜0，所以D是真命题． 答案 C

π

5．(2012·湖南，3)命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是( )

4π

A．若α≠，则tan α≠1

4π

C．若tan α≠1，则α≠ 4

π

B．若α＝，则tan α≠1

4π

D．若tan α≠1，则α＝

4

2

2

解析 根据逆否命题的定义可知C正确． 答案 C

6．(2011·陕西，1)设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( ) A．若a≠－b，则|a|≠|b|

B．若a＝－b，则|a|≠|b| C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b

解析 根据逆命题的定义将原命题的条件和结论互换即可． 答案 D

考点二 充分条件与必要条件

1．(2015·天津，4)设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析 由|x－2|＜1得1＜x＜3，所以1＜x＜2?1＜x＜3；但1＜x＜3?/ 1＜x＜2，故选A. 答案 A

2．(2015·重庆，2)“x＝1”是“x－2x＋1＝0”的( ) A．充要条件

B．充分而不必要条件

2

C．必要而不充分条件

2

D．既不充分也不必要条件

2

解析 解x－2x＋1＝0得x＝1，所以“x＝1”是“x－2x＋1＝0”的充要条件． 答案 A

?π?3．(2015·福建，12)“对任意x∈?0，?，ksin xcos x＜x”是“k＜1”的( )

2??

A．充分而不必要条件 C．充分必要条件

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

2x?π??π?解析 ?x∈?0，?，ksin xcos x＜x??x∈?0，?，k＜，令f(x)＝2x－sin 2x.

2?2?sin 2x??

?π?∴f′(x)＝2－2cos 2x＞0，∴f(x)在?0，?为增函数，∴f(x)＞f(0)＝0.

2??

2x∴2x＞sin 2x，∴＞1，∴k≤1，故选B.

sin 2x答案 B

4．(2015·安徽，3)设p：x<3，q：－1

B．充分不必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析 ∵x<3?/ －1

5．(2015·陕西，6)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( ) A．充分不必要条件 C．充分必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

2

2

解析 ∵sin α＝cos α?cos 2α＝cosα－sinα＝0；cos 2α＝0?cos α＝±sin α?/ sin α＝cos α，故选A. 答案 A

6．(2015·湖南，3)设x∈R，则“x>1”是“x>1”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件

3

3

3

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析 由x＞1知，x＞1；由x＞1可推出x＞1.故选C. 答案 C

7．(2015·浙江，3)设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的( ) A．充分不必要条件 C．充分必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析 当a＝3，b＝－1时，a＋b＞0，但ab＜0，故充分性不成立；当a＝－1，b＝－2时，

ab＞0，而a＋b＜0.故必要性不成立．故选D.

答案 D

8．(2014·新课标全国Ⅱ，3)函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则( ) A．p是q的充分必要条件

B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

解析 设f(x)＝x，f′(0)＝0，但是f(x)是单调增函数，在x＝0处不存在极值，故若p则q是一个假命题，由极值的定义可得若q则p是一个真命题．故选C. 答案 C

9．(2014·北京，5)设a，b是实数，则“a＞b”是“a＞b”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

解析 可采用特殊值法进行判断，令a＝1，b＝－1，满足a＞b，但不满足a＞b，即条件“a＞b”不能推出结论“a＞b”；再令a＝－1，b＝0，满足a＞b，但不满足a＞b，即结论“a＞b”不能推出条件“a＞b”．故选D.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

答案 D

10．(2014·广东，7)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin

A≤sin B”的( )

A．充分必要条件 C．必要非充分条件

B．充分非必要条件

D．非充分非必要条件

解析 由正弦定理，得＝，故a≤b?sin A≤sin B，选A.

sin Asin B答案 A

11．(2013·安徽，4)“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的( ) A．充分不必要条件 C．充分必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

ab1

解析 由(2x－1)x＝0，得x＝或x＝0.

2故(2x－1)x＝0是x＝0的必要不充分条件． 答案 B

12．(2013·福建，2)设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的( )

A．充分而不必要条件 C．充分必要条件

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析 当x＝2且y＝－1时，点P在直线l：x＋y－1＝0上成立；反之则不成立． 答案 A

13．(2012·湖北，9)设a，b，c∈R，则“abc＝1”是“A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充分必要条件

D．既不充分也不必要的条件

解析 由abc＝1，得a＋b＋c≥ab＋bc＋ca＝答案 A

1

1

a＋1

b＋

1

c≤a＋b＋c”的( )

a＋

1

b＋1

c，反之不成立，故选A.