三角函数图像与性质

一轮复习数学导学案

学科 课题 数学 班级 设计教师 课时 6 三角函数及函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质 知识储备： 一.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 值域 递增区间是 递增区间是 递增区间是 ππ[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)， 22[2kπ－π，2kπ](k∈Z)， ππ(kπ－，kπ＋)(k22递减区间是 递减区间是 [2kπ，2kπ＋π](k∈Z) ∈Z) π3π[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z) 22ymax＝1；ymin＝－1 (kπ，0)，k∈Z πx＝kπ＋，k∈Z 2 ymax＝1；ymin＝－1 无最大值和最小值 πx∈R且x≠＋kπ，2k∈Z 单调性 最值 奇偶性 对称性 对称中心 对称轴 ?kπ＋π，0?，k∈Z 2??x＝kπ，k∈Z ?kπ，0?，k∈Z ?2?无对称轴 最小正周期 一、三角函数奇偶性的判断技巧 1．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则 π(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)． 22．若f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则 π(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)． 2二、y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 A 周期 T＝ 频率 1ωf＝T＝ 2π相位 ωx＋φ 初相 φ 三、由y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象 (1)先平移后伸缩 (2)先伸缩后平移 - 1 -

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小试牛刀： 1．函数y＝tan 3x的定义域为( ) ???3A.?x?x≠2π＋3kπ，k∈Z??? ??? ?? ??π??B.x?x≠6＋kπ，k∈Z???? ???π??x≠－＋kπ，k∈Z?C.x6??? ??πkπ???x≠＋，k∈Z?D.x3??6??5π?2．函数f(x)＝2cos?x＋2?是( ) ??A．最小正周期为2π的奇函数 B．最小正周期为2π的偶函数 C．最小正周期为2π的非奇非偶函数 D．最小正周期为π的偶函数 ?π?3．函数f(x)＝sin?x－4?的图象的一条对称轴是( ) ??ππππA．x＝ B．x＝ C．x＝－ D．x＝－ 4242?π??π?4．比较大小：sin?－18?________sin?－10?. ????π???π?2x－5．(2013·天津高考)函数f(x)＝sin?在区间?0，2?上的最小值为( ) 4?????22A．－1 B．－ C. D．0 226．将函数y＝sin x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得π图象上所有的点向右平行移动个单位，得到图象的函数解析式为( ) 10π?π?π?π????1?12x－2x－x－x－A．y＝sin? B．y＝sin? C．y＝sin?2 D.y＝sin?2 10?20?10?20?????????ππ??7．(2013·四川高考)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)?ω>0，－2<φ<2?的部分图象如图3－4－2??- 2 -

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所示，则ω，φ的值分别是( ) ππππ图3－4－2 A．2，－ B．2，－ C．4，－ D．4， 3663自测后你觉得哪类题做起来困难呢？那我们一起来解决吧！ 典例： 题型一 三角函数的定义域和值域 1 (1)函数y＝的定义域为________． tan x－1导疑：由解析式求函数定义域应考虑________. 导学：由tanx-1?0得tanx?1 所以x?________． 所以所求定义域为________. (2)求下列函数的值域①y＝2cos2 x＋2cos x ②y＝3cos x－3sin x，x∈[0，π]； 导疑：二次函数给定区间如何求值域？形如 y＝Asin(ωx＋φ)函数的值域？ 导学：①令cosx=t,则y=________,t ?________ 所以_______?_y?________ 即值域为________ 。 ② y＝3cos x－3sin x= ________.（辅助角公式） 因为x∈[0，π]，所以_______?_y?________ 即值域为________ 。 题型二 三角函数的单调性 求下列函数的单调增区间． π??(1) y＝sin?－3x＋4?；(2)y＝|tan x|. ??导疑：1.式子中x的系数是负的，能否将它变成正的？如何做？ - 3 -

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2.变形后将( )看作y=sinx中的x,y=sinx的单调区间是什么？ π???导学：（1）由 y＝sin?－3x＋4?=__sin(3x-). ??4 令________ ?3x-??________ 4 得________ ?x?________ 所求函数的单调增区间为________. （2）导疑：y=tanx的图像？y＝|tan x|的图像与之发生变化？. 导学：作出函数y＝|tan x|的图像（草图） 由图像可知所求单调区间为： ?π?练习: 1.已知函数y＝sin?3－2x?， ??求：(1)函数的单调增区间； (2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间． 2.求函数y=sinx的单调区间。 题型三 三角函数的奇偶性、周期性和对称性 π (1)已知函数f(x)＝sin(πx－)－1，则下列说法正确的是( ) 2A．f(x)是周期为1的奇函数 B．f(x)是周期为2的偶函数 C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数 D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数 (2)已知f(x)＝cos(3x＋φ)－3sin(3x＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( ) ππππA. B. C．－ D．－ 6363 π??对点练习1.设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)?ω＞0，|φ|＜2?，给出以下四个论断： ??①它的最小正周期为π； π②它的图象关于直线x＝成轴对称图形； 12?π?③它的图象关于点?3，0?成中心对称图形； ??- 4 -