山东省泰安市2019-2020学年高考数学二模考试卷含解析

护眼习惯，在这8人中任取2人，记坚持做眼保健操的学生人数为X，求X的分布列和数学期望.

n?ad?bc? 附：K2??a?b??c?d??a?c??b?d?K2?k 0.10 k 0.05 0.025 0.010 0.005 22.706 3.841 5.024 6.635 7.879 【答案】（1）144（2）能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系（3）详见解析 【解析】 【分析】

（1）由题意可计算后三组的频数的总数，由其成等差数列可得后三组频数，可得视力在5.0以上的频率，可得全年级视力在5.0以上的的人数；

（2）由题中数据计算k2的值，对照临界值表可得答案；

（3）由题意可计算出这8人中不做眼保健操和坚持做眼保健操的分别有2人和6人，可得 X可取0，1，2，分别计算出其概率，列出分布列，可得其数学期望. 【详解】

解：（1）由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人，因为后三组的频数成等差数列，共有

100??3?7?27??63（人）

所以后三组频数依次为24，21，18， 所以视力在5.0以上的频率为0.18，

故全年级视力在5.0以上的的人数约为800?0.18?144人

100??44?18?32?6?150（2）k2???7.895?7.879，

50?50?76?2419因此能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系. （3）调查的100名学生中不近视的共有24人，从中抽取8人，抽样比为操和坚持做眼保健操的分别有2人和6人， X可取0，1，2，

281?，这8人中不做眼保健243021120C6?C2C6C2123C6C2151P?X?0???,PX?1???,PX?2??????， 2Cg28C82287C8228X的分布列 X 0 1 2 P 1 28315 72811215?1??2??1.5. 282828X的数学期望E?X??0?【点睛】

本题主要考查频率分布直方图，独立性检测及离散型随机变量的期望与方差等相关知识，考查学生分析数据与处理数据的能力，属于中档题.

22．如图，在四棱锥M?ABCD中，AB?AD，AB?AM?AD?2，MB?MD?22.

（1）证明：AM?平面ABCD；

（2）若CD//AB，2CD?AB，E为线段BM上一点，且BE?2EM，求直线EC与平面BDM所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析 （2）159 53【解析】 【分析】

（1）利用线段长度得到AM与AB,AD间的垂直关系，再根据线面垂直的判定定理完成证明； （2）以AD、AM、AB为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值，计算出结果. 【详解】

（1）∵AB?AM?AD?2，MB?MD?22， ∴AM2?AD2?MD2，AM2?AB2?MB2

∴AM?AD，AM?AB

∵AB?AD?A，AD?平面ABCD， ∴AM?平面ABCD

（2）由（1）知AB?AD，AM?AD，AM?AB

又A为坐标原点，分别以AD、AM、AB为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

uuuruuuurA0,0,0M0,2,0D2,0,0C2,0,1 则??，??，??，BD??2,0,?2?，DM???2,2,0?，?，B?0,0,2?，?r?41?uuuruuur?42?uuu∵BE?2EB，∴E?0,,?，CE???2,,??

33??33??r设n??x,y,z?是平面BDM的一个法向量

uuuvvr?n?BD?0?2x?2z?0v则?vuuuu，即?，取x?1得n??1,1,1?

??2x?2y?0?n?DM?041ruuur?2??n?CEruuur15933uuur??∴cos?n,CE??r 53|n|?|CE|533?3∴直线EC与平面BDM所成的正弦值为【点睛】

本题考查线面垂直的证明以及用向量法求解线面角的正弦，难度一般.用向量方法求解线面角的正弦值时，注意直线方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值. 23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为?交于A、B两点. (1)求AB的长；

(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P的极坐标为?22,159 53?x?t2(t为参数)，直线l与曲线C:?x?1??y2?1?y?t??3???，求点P到线4?段AB中点M的距离. 【答案】（1）2 ;（2）【解析】 【分析】

（1）将直线的参数方程化为直角坐标方程，由点到直线距离公式可求得圆心到直线距离，结合垂径定理即可求得AB的长；

（2）将P的极坐标化为直角坐标，将直线方程与圆的方程联立，求得直线与圆的两个交点坐标，由中点坐标公式求得M的坐标，再根据两点间距离公式即可求得PM. 【详解】

34. 2?x?t(t为参数)， （1）直线l的参数方程为??y?t化为直角坐标方程为y?x，即x?y?0 直线l与曲线C:?x?1??y2?1交于A、B两点. 则圆心坐标为?1,0?，半径为1， 则由点到直线距离公式可知d?12?2， 22?2?. 所以AB?2?12???2???2??（2）点P的极坐标为?22,2??3???，化为直角坐标可得??2,2?， 4???y?x直线l的方程与曲线C的方程联立?，化简可得x2?x?0， 22???x?1??y?1解得x?0,x?1，所以A、B两点坐标为

0?、?0，?1,1?，

?11?M所以?,?， ?22?1??1?34. 由两点间距离公式可得PM???2??2??????2??2?2?【点睛】

本题考查了参数方程与普通方程转化，极坐标与直角坐标的转化，点到直线距离公式应用，两点间距离公式的应用，直线与圆交点坐标求法，属于基础题.

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