山东省泰安市2019-2020学年高考数学二模考试卷含解析

5．欧拉公式为eix?cosx?isinx,(i虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e3i表示的复数位于复平面中的（ ） A．第一象限 【答案】A 【解析】 【分析】 计算e?i3?B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

?cos??13?isin??i，得到答案. 3322【详解】

根据题意e?cosx?isinx，故e故选：A. 【点睛】

本题考查了复数的计算， 意在考查学生的计算能力和理解能力. 6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

ix?i3?cos??13?isin??i，表示的复数在第一象限. 3322

A．

10 3B．3 D．

8C．

37 3【答案】A 【解析】 【分析】

根据题意，可得几何体，利用体积计算即可. 【详解】

由题意，该几何体如图所示：

该几何体的体积V?故选：A. 【点睛】

11110?2?2?2???2?2?. 2323本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题．

7．在VABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是AB的中点，若CD?1，且

1??a?b?sinA??c?b??sinC?sinB?，则VABC面积的最大值是( ) ?2??A．

15 5B．

1 5C．15 10D．

215 5【答案】A 【解析】 【分析】

根据正弦定理可得?a???uuuruuuruuur1?b?a??c?b??c?b?，求出cosC，根据平方关系求出sinC.由2CD?CA?CB2?1absinC，求出VABC面积的最大值. 2两端平方，求ab的最大值，根据三角形面积公式S?【详解】

1??VABC中，?a?b?sinA??c?b??sinC?sinB?，

2??由正弦定理可得?a???1?1b?a??c?b??c?b?，整理得c2?a2?b2?ab， 2?2由余弦定理c2?a2?b2?2abcosC，得cosC?115. ,QC??0,??,sinC?44QD是AB的中点，且CD?1，

uuuruuuruuuruuur?2CD?CA?CB,?2CD???2uuuruuur2uuur2uuur2uuur2uuuruuur?CA?CB，即4CD?CA?CB?2CAgCB，

?即4?b?a?2bacosC?a?b?2222115ab?2ab?ab?ab， 222?ab?8，当且仅当a?b时，等号成立. 51181515， ?VABC的面积S?absinC???=22545所以VABC面积的最大值为故选：A. 【点睛】

本题考查正、余弦定理、不等式、三角形面积公式和向量的数量积运算，属于中档题. 8．函数f(x)?4sin??x?数的一条对称轴是（ ） A．x?

15. 5?????(??0)的最小正周期是3?，则其图象向左平移6个单位长度后得到的函3???4

B．x?

?3

C．x?5? 6D．x?19? 12【答案】D 【解析】 【分析】

由三角函数的周期可得??2?，由函数图像的变换可得， 平移后得到函数解析式为34???2y?4sin?x??，再求其对称轴方程即可.

39??【详解】

??????2f(x)?4sin?x?(??0)f(x)?4sinx?解：函数的最小正周期是3?，则函数????，经过平移

3?3???3后得到函数解析式为y?4sin??x?得x??2??3?????4??2??4sinx???6?3?9?3?24???x??k??(k?Z)， ，由?392?3?19?k??(k?Z)，当k?1时，x?. 21212故选D. 【点睛】

本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题. 9．已知下列命题：

①“?x?R,x2?5x?6”的否定是“?x?R,x2?5x?6”；

②已知p,q为两个命题，若“p?q”为假命题，则“??p????q?”为真命题；

③“a?2019”是“a?2020”的充分不必要条件； ④“若xy?0，则x?0且y?0”的逆否命题为真命题. 其中真命题的序号为（ ） A．③④ 【答案】B 【解析】 【分析】

由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题进行判断． 【详解】

“?x?R,x2?5x?6”的否定是“?x?R,x2?5x?6”，正确；

已知为两个命题，若“p?q”为假命题，则“??p????q?”为真命题，正确； “a?2019”是“a?2020”的必要不充分条件,错误；

“若xy?0，则x?0且y?0”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误. 故选：B． 【点睛】

本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础．

B．①②

C．①③

D．②④

?ln(x?1),x?0?10．已知函数f(x)??1，若m?n,且 f(m)?f(n)，则n?m的取值范围为（ ）

x?1,x?0??2A．[3?2ln2,2) 【答案】A 【解析】

分析：作出函数f?x?的图象，利用消元法转化为关于n的函数，构造函数求得函数的导数，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得到结论.

详解：作出函数f?x?的图象，如图所示，若m?n，且f?m??f(n)， 则当ln(x?1)?1时，得x?1?e，即x?e?1， 则满足0?n?e?1,?2?m?0，

B．[3?2ln2,2]

C．[e?1,2)

D．[e?1,2]

1m?1，即m?ln(n?1)?2，则n?m?n?2?2ln(n?1)， 22n?1?设h?n??n?2?2ln(n?1),0?n?e?1，则h??n??1?， n?1n?1则ln(n?1)?当h??n??0，解得1?n?e?1，当h??n??0，解得0?n?1，