2019年山东省济南市莱芜区中考数学试卷

∴ 2(???2?3??)?3=3，

解得：??1＝?1，??2＝?2．

当??＝?1时，??点坐标为(?1,?4)， 当??＝?2时，??点坐标为(?2,?3)，

综上所述：若△??????面积为3，点??的坐标为(?1,?4)或(?2,?3)，

如解（3）图1，过??点作????垂直??轴于??点，过??点作????垂直????于??点， ∵ ??为抛物线??＝???2?2??+3的顶点， ∴ ??点坐标为(?1,?4)， 又∵ ??(?3,?0)，

∴ 直线????为??＝2??+6，????＝2，????＝4，tan∠??????＝2， ∵ ??(1,?0)，??(0,?3)

∴ tan∠??????＝3，????=√10，sin∠??????=∵ ????＝4，

∴ ????＝?????sin∠??????=4×3√10=6√10，????=2√10，

1055∴ ????=3√10，

5

3√1010

1

，直线????解析式为??＝?3??+3．

∴ tan∠??????=????=2，

∴ tan∠??????＝tan∠??????＝2，

∴ ∠??????＝∠??????，

∴ 使得以??，??，??为顶点的三角形与△??????相似，则有两种情况，如解（3）图2 Ⅰ．当∠??????＝∠??????＝45°时，△??????∽△??????， 即????为??＝???，

设????与????的交点??(??,???)

??=???

依题意得：{??=2??+6 ， ??=?2

， 解得{

??=2

即??点为(?2,?2)．

Ⅱ．若∠??????＝∠??????，即?????//?????， ∵ 直线????解析式为??＝?3??+3．

∴ 直线????为??＝?3??，设直线????与????的交点??(??,???)．则 ??=?3??

， 依题意得：{

??=2??+6??=?5

解得{18 ，

??=

56

????

即??点为(?5,?5)，

综上所述：存在使得以??，??，??为顶点的三角形与△??????相似的点??，其坐标为(?2,?2)或(?5,?5)，

618

618

试卷第21页，总24页

【考点】

二次函数综合题 【解析】

（1）利用待定系数法，然后将??、??、??的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式； （2））过??点作????垂直??轴，交????于??，把△??????分成两个△??????与△??????，把????作为两个三角形的底，通过点??，??的横坐标表示出两个三角形的高即可求得三角形的面积． （3）通过三角形函数计算可得∠??????＝∠??????，使得以??，??，??为顶点的三角形与△??????相似，则有两种情况，∠??????＝∠??????＝45°，即????为??＝???，若∠??????＝∠??????，则????为??＝?3??+3，然后由直线解析式可求????与????的交点??． 【解答】

把??(?3,?0)，??(1,?0)，??(0,?3)代入抛物线解析式??＝????2+????+??得 9???3??+??=0{??+??+??=0 ， ??=3

??=?1解得{??=?2 ，

??=3

试卷第22页，总24页

所以抛物线的函数表达式为??＝???2?2??+3．

如解（2）图1，过??点作????平行??轴，交????于??点， ∵ ??(?3,?0)，??(0,?3)，

∴ 直线????解析式为??＝??+3， 设??点坐标为（??,????2?2??+3．），则??点坐标为(??,???+3)， ∴ ????＝???2?2??+3?(??+3)＝???2?3??． ∴ ??△??????=2?????????， ∴ 2(???2?3??)?3=3，

解得：??1＝?1，??2＝?2．

当??＝?1时，??点坐标为(?1,?4)， 当??＝?2时，??点坐标为(?2,?3)，

综上所述：若△??????面积为3，点??的坐标为(?1,?4)或(?2,?3)，

如解（3）图1，过??点作????垂直??轴于??点，过??点作????垂直????于??点， ∵ ??为抛物线??＝???2?2??+3的顶点， ∴ ??点坐标为(?1,?4)， 又∵ ??(?3,?0)，

∴ 直线????为??＝2??+6，????＝2，????＝4，tan∠??????＝2， ∵ ??(1,?0)，??(0,?3)

∴ tan∠??????＝3，????=√10，sin∠??????=∵ ????＝4，

∴ ????＝?????sin∠??????=4×∴ ????=3√10，

5

3√1010

3√1010

1

1

，直线????解析式为??＝?3??+3．

=

6√10，????5

=

2√10， 5

∴ tan∠??????=????=2，

∴ tan∠??????＝tan∠??????＝2， ∴ ∠??????＝∠??????，

∴ 使得以??，??，??为顶点的三角形与△??????相似，则有两种情况，如解（3）图2 Ⅰ．当∠??????＝∠??????＝45°时，△??????∽△??????， 即????为??＝???，

设????与????的交点??(??,???)

??=???{依题意得：??=2??+6 ， ??=?2 ， 解得{

??=2

即??点为(?2,?2)．

Ⅱ．若∠??????＝∠??????，即?????//?????， ∵ 直线????解析式为??＝?3??+3．

∴ 直线????为??＝?3??，设直线????与????的交点??(??,???)．则 ??=?3??

， 依题意得：{

??=2??+6??=?5

解得{18 ，

??=5

试卷第23页，总24页

6

????

即??点为(?5,?5)，

综上所述：存在使得以??，??，??为顶点的三角形与△??????相似的点??，其坐标为618

(?2,?2)或(?6185,?5)，

试卷第24页，总24页