2020届高考数学二轮教师用书：层级二 专题六 (文)第2讲 概率与统计的综合应用 Word版含解析

(文)第2讲 概率与统计的综合应用

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1．以客观题的形式、考查古典概型、几何概型的简单应用，难度中低档．

2．在解答题中以实际生活为背景，考查概率与统计的实际应用，概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点．

[真题体验]

1．(2018·全国Ⅲ卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )

A．0.3 C．0.6

B．0.4 D．0.7

解析：B [设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＋P(AB)，因为P(A)＝0.45，P(AB)＝0.15，P(A∪B)＝0.45＋P(B)＋0.15＝1，所以P(B)＝0.4.]

2．(2017·全国卷Ⅰ)

如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )

1

A. 41C. 2

πB. 8πD. 4

解析：B [不妨设正方形边长为a，由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半．由几何概型概率的计算公式得，所求概率为

π

＝，选B.] 8

3．(2019·天津卷)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除，某单位老、

中、青员工分别有72人，108人，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.

员工 项目 子女教育 继续教育 大病医疗 住房贷款利息 住房租金 赡养老人 A ○ × × ○ × ○ B ○ × × ○ × ○ C × ○ × × ○ × D ○ × ○ × × × E × ○ × ○ × × F ○ ○ × ○ × ○ (1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？ (2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F，享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．

(ⅰ)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

(ⅱ)设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．

解：(1)由已知，老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采取分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人．

(2)(ⅰ)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种．

(ⅱ)由表格知，符合题意的所有结果为{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种．

11

所以，事件M发生的概率P(M)＝. 15

[主干整合]

1．随机事件的概率

(1)随机事件的概率范围：0≤P(A)＜1. (2)必然事件的概率为1. (3)不可能事件的概率为0.

2．互斥事件、对立事件的概率公式 (1)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．

(2)P(A)＝1－P(B)． 3．古典概型的概率公式 mA中所含的基本事件数P(A)＝＝.

n基本事件总数4．几何概型的概率公式 P(A)＝

构成事件A的区域长度?面积或体积?

.

试验全部结果所构成的区域长度?面积或体积?

1．区分互斥、对立事件：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．

2．关注条件：概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝?，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.

热点一 几何概型

数学 建模 素养 数学建模——几何概型中的核心素养 以几何概型为基础，把数学中的实际问题转化为几何概型，建立数学模型，从而解决实际问题. [题组突破] 1．(2019·日照三模)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )

1123A. B. C. D. 3234解析：B [如图所示，画出时间轴：

小明到达的时间会随机的落在图中线段AB上，而当他的到达时间落在线段AC或DB上10＋101时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P＝＝.] 402

2．从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )

4n2n4m2m

A. B. C. D. mmnn解析：C [

如图，数对(xi，yi)(i＝1,2，…，n)表示的点落在边长为1的正方形OABC内(包括边界)，两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内，由几何概型的1πm44m

概率公式可得＝2，故π＝.]

n1n

3．(2018·全国Ⅰ卷)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则( )

A．p1＝p2 C．p2＝p3

B．p1＝p3 D．p1＝p2＋p3

解析：A [设直角三角形ABC的边AB＝a，AC＝b，则BC＝a2＋b2， 1

则区域Ⅰ的面积SⅠ＝ab，区域Ⅲ的面积

21?a2＋b2?21π1SⅢ＝π?－ab＝(a2＋b2)－ab， ?2?2?2821a?21?b?2区域Ⅱ的面积SⅡ＝π?＋π－SⅢ

2?2?2?2?ππ11＝(a2＋b2)－(a2＋b2)＋ab＝ab. 8822π

∴SⅠ＝SⅡ，SⅡ＋SⅢ＝(a2＋b2)≠SⅠ，

8由几何概型的概率公式可知p1＝p2，故选A.]

求解几何概型的关注点

(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．

热点二 古典概型