数理统计课程设计

合肥工业大学

课程设计

设计题目 M-C 方法求积分

学生姓名

学 号

专业班级 应数11-1

指导老师 凌云祥

2014年7月12日

M-C 方法求积分

设计目的:

蒙特卡洛模拟法以及如何在软件中实现。

M-C积分的基本思想及基本步骤：

蒙特·卡罗方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。

（一）基本思想

方法的正确性是基于概率论的中心极限定理。当抽样点数为m时，使用此种方法所得近似解的统计误差恒为1除于根号M,不随积分维数的改变而改变。因此当积分维度较高时，蒙特卡罗方法相对于其他数值解法更优。

（二）蒙特·卡罗积分步骤

1) 对被积函数变量区间进行随机均匀抽样；

2) 对被抽样点的函数值求平均，从而可以得到函数积分的近似值；

描述性统计： （一）峰度

峰度是用来反映频数分布曲线顶端尖峭或扁平程度的指标。实验研究表明，偶阶中心矩的大小与图形分布的峰度有关。统计上是用四阶中心矩来测定峰度。 计算公式：（s是样本标准差）

?K??(x?x)ii?1k4fi

ns?4

（二）偏度

表征概率分布密度曲线相对于平均值不对称程度的特征数。直观看来就是密度函数曲线尾部的相对长度。若知道分布有可能在偏度上偏离正态分布时，可用偏离来检验分布的正态性。右偏时一般算术平均数>中位数>众数，左偏时相反，即众数>中位数>平均数。正态分布三者相等。

计算公式：（s是样本标准差）

n?SK?n?(xi?x)3i?1_(n?1)(n?2)s?3

问题重述：

计算?1，f(x)自定。n?500；考虑n对结果的影响， 即做多组n次的模拟值， 并作模拟值与n的散点图，同时比较模拟值与真实值的差异，散点图表示。并做差异值序列的描述性统计。

0f(x)dx参数说明： （一）实验函数f：

这里取，f(x)?x2?x?1易得

?101f(x)dx??。

6（二）实验软件：

实验软件为Matlab(R2010b)。

散点图：

N以间隔1取遍从500到10000的数；

描述性统计：

差异值的描述性统计： 均值 标准差 最小值 最大值 众数 中位数 峰度 偏度 -2.1154 *10-5 0.0103 -0.0785 0.0641 0 -1.5831 *10-4 (正态分布为3)6.1902 -0.0463 总结：

加深了蒙特卡洛模拟法的理解，在matlab中实现了蒙特卡洛模拟法。对数理统计中的峰度偏度有了感性化的了解。

附录：（matlab程序）

%%mc.m

function y=mc(x,m,f) % x为模拟区间 % m为模拟次数 if(length(x)~=2)

error('请输入区间'); end a=x(1); b=x(2);

A=zeros(1,m); for i=1:m

A(i)=f(rand()*(b-a)+a); end

y=mean(A);

%%输入窗口 f=@(x)x^2+x-1; n=500:10000; len=length(n); y=zeros(1,len); for i=1:len

y(i)=mc([0,1],n(i),f); end

plot(n,y,'or') refline(0,-1/6);

A=y+1/6;%差异值序列 B(1)=mean(A);%平均值 B(2)=std(A);%标准差 B(3)=min(A);%最小值 B(4)=max(A);%最大值 B(3)=mode(A);%众数 B(6)=median(A);%中位数 B(7)=kurtosis(A);%峰度 B(8)=skewness(A);%偏度