探访莱布尼茨：与大师穿越时空的碰撞

莱布尼茨在积分里使用根的符号

在解方程时经常会用到±，但这常常使分组过程十分混乱，比如说a±b±c。而莱布尼茨似乎也遇到了类似的麻烦，但他发明了一种标记法来解决这问题——这种方法即便在如今也实在值得一用：

莱布尼茨发明标记分组±

莱氏使用的一些标记让我也不明就里。不过这些上波浪线到确实赏心悦目：

还有这些小点：

或者是这些看上去很有趣的图表：

当然，莱布尼茨最著名的符号要数他创造的积分符号（用长“S”表示“总和”）以及“d”。这一系统首次被总结出来就是在这张纸的空白处，日期是1675年11月11日（事后“1675”里的“5”被改成了“3”，也许是出自莱布尼茨的手笔）：

莱布尼茨创造的积分符号

我所注意到的有趣的一点是，尽管创造了这些“数学”运算符号，莱布尼茨显然并没有为逻辑运算发明一套类似的符号。“或”仅仅使用拉丁文“vel”表示，“且”则是“et”，如此等等。而当他想到逻辑量词（例如现代的?和?）这个点子时，他也只是用拉丁文缩写U.A.和P.A.草草了事。

莱布尼茨用拉丁文缩写U.A.和P.A.

早期创建“算数机”的尝试

一直让我感到反常的是，在思想史上，统泛化运算（Universal Computation）的概念直到20世纪30年代才萌生。而我总怀疑莱布尼茨的手稿中是否隐藏着一份统泛化运算的早期版本——也许甚至有一份图样可供今人解读出一套类似图灵机的系统。但是随着对莱布尼茨愈加深刻的接触，我清楚地看到了为何事实并非如此。

其中一个重要原因，据我推测，是他并不足够重视离散系统。他将组合数学中的成果称为“不证自明的”，大概是因为他考虑到这些成果可以用运算方法直接证明。而对他而言，只有“几何的”或者连续数学问题才值得为之发明微积分来解决。在描述曲线特性等问题时，莱氏想出了类似连续函数的方法。但他从未把这种函数思想应用在离散数学中——而这却很可能引导他开始思考构建函数的通用元素。

莱布尼茨认识到了他的微积分的成功，并且一心想为其他领域也创造出类似的“微积分”。在他与统泛化运算另一次失之交臂的经历中，莱布尼茨想到用数字来将逻辑特征编码。他设想将某事物的每一个可能的性质都与一个不同的质数相对应，然后再通过这些代表其性质的质数之乘积来描述这一事物——随后再用数学运算来代替逻辑推演过程。但是他只考虑到了静态性质——并且从未能想到像哥德尔数那样，将运算同样用数字进行编码。

尽管莱布尼茨没有产生统泛化运算的思想，可是他确乎体会到了一个理念：计算在某种意义上是机械化的。而且他在早期似乎确实下过决心要建造一个实实在在的机械计算机来进行数学运算。可能部分原因是为了他自己用着方便（这可是开发新技术的万能理由！），因为撇开他在代数及其他方面的造诣不谈，他的手稿边上写满了基础（有些还是错误的）算式——而这些也一并被保存下来供后人观瞻：

在莱布尼茨的时代，曾有过零星的几个建造机械计算机的实例，并且在巴黎时期，他无疑见识过帕斯卡于1642年建造的加法计算器。但是莱布尼茨致力于建造一个“全能”计算机，而这将是首次可以在一台机器上进行全部4种基础运算。他还想给这机器设计一个简单的“用户界面”：使用者可以将操作柄扳向一方进行乘法，扳向反方向则是除法操作。

在莱布尼茨手稿中，探讨该机器的工作原理的各式简图随处可见：