探访莱布尼茨：与大师穿越时空的碰撞

探访莱布尼茨：与大师穿越时空的碰撞

编辑的话：莱布尼茨是17世纪时著名的哲学家和数学家，在其他诸多领域亦成就非凡。他所著如密码般的《数学笔记》，体现了他的微积分思想、方法和符号，虽然这小册子从未公开发表。而本文作者史蒂芬·沃尔夫勒姆（Stephen

Wolfram）则的英国物理学家、数学家、软件工程师和企业家，也是文中一再提到的数学软件 Mathematica 和在线自动问答系统、被称为知识型计算引擎

的 Wolfram Alpha 的开发者。本文编译自他的博客文章《拜访莱布尼茨》（Dropping In on Gottfried Leibniz）。

（文/Stephen Wolfram）多年来，我都对戈特弗里德·莱布尼茨很感兴趣，尤其是因为早在3个世纪以前，他就似乎想要制造一种类似Mathematica和Wolfram Alpha的工具，没准还可能会写本《一种新科学》。所以，在最近一次德国之旅中，我对能够拜访坐落在汉诺威的莱布尼茨文献馆感到兴奋不已。

翻阅着他发黄的手稿（仍旧够挺，经得起我触碰），我试着想象他写下这些篇章时的思绪，试图将我在这里看到的与3个世纪后我们所掌握的知识联系起来——这时，我感到了一种共鸣。

其中的一些记载，尤其是数学方面的，简直超越了时间，比如说下图中莱布尼茨写下的收敛于√2的无穷级数（文字为拉丁文）：

莱布尼茨写下的收敛于√2的无穷级数

又例如下图中，莱布尼茨试图计算该连分数的值，尽管他的算法是错误的，但他仍把整个过程记录了下来（其中的“Π”相当于等号的早期版本）：

计算连分数的值，虽然算法错了，但莱布尼茨仍然记录下了整个过程。

再比方说下图中对微积分的一点总结，几乎能够列入现代的教科书：

莱布尼茨对微积分的一点总结

但除此之外还有什么？莱布尼茨的工作及思想的宏观图景又是怎样的？ 我一直都觉得莱布尼茨的形象有些令人难以捉摸。他做了很多看似迥然不同且毫不相关的事情——涉及了哲学、数学、神学、法学、物理学、历史学，不一而足。而他用来描述自己工作的语言在我们今天看来又都是来自17世纪的陌生措辞。 但是，随着我的进一步了解，以及对莱布尼茨这个人更深入的体会，我察觉到了隐藏在他诸多成果下的核心思维方向，而这一思维方向与我所奉行的现代计算机理念不谋而合。

对知识系统化和结构化的追求

1646年（伽利略逝世后第4年，也是牛顿出生后的第4年），戈特弗里德·莱布尼茨出生在现属于德国的莱比锡地区。他的父亲是一位哲学教授，母亲出身于图书贸易家族。莱布尼茨6岁那年，父亲去世。考虑到他年幼，2年后莱布尼茨才被允许进入父亲的书房，开始在其中徜徉书海。他于15岁进入当地大学学习哲学和法律，并在20岁时从这两门专业毕业。

即便在志学之年，莱布尼茨似乎就对知识的系统化和规范化很感兴趣。曾有过这样一类模糊的观点长期存在——例如14世纪拉蒙·柳利（Ramon Llull，是马略卡王国 [现西班牙] 的一名作家、哲学家、逻辑学家）在其半神秘主义著作《鸿篇》（Ars Magna）中所表达的——即我们可以建立起某种通用的体系，在该体系下，从一个适当的（笛卡尔所谓的）“人类思想字母表”中取出符号进行多样组合，就可能表达所有知识。在哲学毕业论文中，莱布尼茨就曾试图探讨这一思想。他用到了一些基础组合数学知识来计算概率。他还提到将思想分解为可以利用“创造的逻辑”进行处理的简单成分。另外，他还加入了一段自称为旨在证明上帝存在的论证。

正如莱布尼茨在晚年所说，这篇他在20岁时写的论文从许多方面来看都很幼稚。但我觉得，莱布尼茨正是从此开始了对种种问题的毕生思索。举例来说，莱布尼茨的法学毕业论文命题是“疑难法律案件”，通篇都在论述这类案件被简化为逻辑与组合数学问题从而得以解决的可能性。

尽管原本有望成为一名教授，然而莱布尼茨最终决定终其一生，为多个法庭及执政者提供顾问服务。有时他要贡献自己的学识，追溯艰深然而具有重要政治意义的族谱或历史；有时要对诸如法典、文献等进行系统化规范整理；有时则要进行实际工程设计，例如规划银矿排水方案；还有些时候——尤其是在早年生涯中——他要为政治举措提供“实时实地”的智力援助。

在1672年的一次此类政治行动中，莱布尼茨被派往巴黎，之后在那里度过了4年——在这一期间，他结识了很多当时的学界翘楚。在此之前，莱布尼茨的数学知识只处于基础水平。但在巴黎，他有机会学习所有最先进的思想与方法。举例来说，他曾找到克里斯蒂安·惠更斯，并成功通过了测试——求所有三角形数倒数之和，于是后者同意指导莱布尼茨学习数学。

经过多年的努力，莱布尼茨完善了他将知识系统化、规范化的理论，并一直在构想着一种能使知识——按现在的说法——可计算化的整体结构。他所设想的第一步是发展一门“符号学（ars characteristica）”——即用符号表示事物的方法论研究，并实际制定一套统一的“思维字母表”。在他接下来的设想中，通过这套单一指代体系，我们有可能“通过演算找到任何领域的推理真理[1], 就像算术和代数那样。”这与如今我们所知的计算理论有着惊人的共同点。

他在提到自己的理念时用到了不少野心勃勃的说法，例如“知识方法总论”、“哲学语言”、“通用数学”、“通用系统”，还有“思维演算法”。他料想这一系统最终会应用在所有领域：科学、法律、医学、工程学、神学等等。但在其中一门学问中，他很快就取得了显著成就，那就是数学。

据我的了解，数学史上将数学符号当作中心课题来研究的案例惊人地少见。仅有几例，如19世纪末期，现代数理逻辑论开端伊始，戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege，德国数学家、逻辑学家和哲学家，数理逻辑的奠基人）及朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano，意大利数学家、逻辑学家和语言学家，数理逻辑先驱）等人的工作。还有近年来我在建立Mathematica和Wolfram语言的过程中的一些尝试。但莱布尼茨早在3个世纪前就开始了这项工作。并且据我揣测，莱布尼茨

在数学领域的成就，很大程度上要归功于他在符号系统方面做出的努力，以及这一系统所带来的更为明晰的数学结构和流程之推论。

在数学领域符号系统方面的成就

当我们阅读莱氏的论文时，会发现他使用的符号及其演变十分引人入胜。其中很多看上去非常现代化。尽管也有少数17世纪的鬼画符，比方说他偶尔会用炼金术或占星术中的符号表示代数中的变量：

莱布尼茨用炼金术或占星术中的符号表示代数中的变量

在此处，他把Π用作等号，并略显俗套地把这个符号当成一个天平：把某一边的“腿”写得稍长以表示小于（“<”）或者大于（“>”）：

莱布尼茨表示的大于（“<”）或者小于（“>”）

这里的上划线用来表示合并同类项——可以说是个比括号更好的主意，尽管不方便打字和排版：

莱布尼茨用上划线表示合并同类项

今天，我们会用根号来表示根。但是莱布尼茨想在积分里也使用这个符号，并配以带着漂亮小尾巴的“d”。这让我想起我们在Mathematica中使用黑板粗体“微分d”来表示积分。