数字信号处理 - 证明题（32道） - 1

节 莈证明DFT的对称定理，即假设X(k)=DFT［x(n)］， 证明：DFT［X(n)］=Nx(N－k) 题干 芇 肃 答案 荿证：因为：X(k)? 肀?x(n)Wn?0N?1knN 所以：DFT[X(n)]??X(n)Wn?0N?1knN?N?1mn?kn????x(m)WN?WN n?0?m?0?N?1 肆由于：?Nm?N?kn(m?k) W???N0 m?N?k,0 ?m ? N?1n?0?N?1 膃所以：DFT［X(n)］=Nx(N－k)k=0,1,…,N－1 螀 题干 1薇如果X(k)=DFT［x(n)］，证明DFT的初值定理：x(0)?N 证:由IDFT定义式： 可知： ?X(k) k?0N?1 螄答案 芃 膀 艿 题干 薃证明:若x(n)为实序列，X(K)?DFT[x(n)]N则X(k)为共轭对称序列，即*X(K)?X(N?k)。 芃 答案 薁证:由DFT的共轭对称性。 将x(n)表示为 蚇 薆 x(n)=xr(n)+jxi(n) 莃则：X(k)=DFT［x(n)］=Xep(k)+Xop(k) 蚈其难：Xep(k)=DFT［xr(n)］，是X(k)的共轭对称分量；Xop(k)=DFT［jxi(n)］,是X(k)的共轭反对称分量。 荿所以：如果x(n)为实序列，则Xop(k)=DFT［jxi(n)］=0，故X(k)=DFT［x(n)］*=Xep(k)，即X(K)?X(N?k)。 莅 题干 蒂证明：若x(n)实偶对称，即x(n)=x(N－n)，且X(K)?DFT[x(n)]N则X(k)也实偶对称。 聿 答案 袇证明：由DFT的共轭对称性可知，如果 x(n)=xep(n)+xop(n) 膄则：X(k)=Re［X(k)］+jIm［X(k)］ 则：Re［X(k)］=DFT［xep(n)］,jIm［X(k)］=DFT［xop(n)］ 所以：当x(n)=x(N－n)时，等价于上式中xop(n)=0,x(n)中只有xep(n)成分，所以X(k)只有实部，即X(k)为实函数。又实序列的DFT必然为共轭对称函数， 薂即X(k)=X*(N－k)=X(N－k)，所以X(k)实偶对称。 蒀 题干 蕿证明：若x(n)实奇对称，即x(n)=－x(N－n)，且X(K)?DFT[x(n)]N则X(k)为纯虚函数并奇对称。 膇 答案 蚂证明：由DFT的共轭对称性可知，如果 x(n)=xep(n)+xop(n) 袁则：X(k)=Re［X(k)］+jIm［X(k)］ 则：Re［X(k)］=DFT［xep(n)］,jIm［X(k)］=DFT［xop(n)］ 所以：当x(n)=－x(N－n)时，等价于x(n)只有xop(n)成分（即xep(n)=0），故X(k)只有纯虚部，且由于x(n)为实序列，即X(k)共轭对称，X(k)=X*(N－k)=－X(N－k),为纯虚奇函数。 肇 题干 羆证明频域循环移位性质：设X(k)=DFT［x(n)］，Y(k)=DFT［y(n)］，如果lnNY(k)=X((k+l))NRN(k)，则 y(n)?IDFT[Y(k)]?Wx(n) 螂 答案 节证： 蝿令m=k+l,则 1y(n)?IDFT[Y(k)]?N?Y(k)Wk?0N?1?knN 蚅 题干 答案 袂证明离散帕塞瓦尔定理。若X(k)=DFT［x(n)］，则 证： 葿 膆1N1|X(k)|??Nk?02N?1?X(k)Xk?0N?1*(k)题干 答案 若X(K)=DFT[x(n)]N,证明X(K)是隐含周期的，其周期为N。 证明：对任意整数m，k,m,N?I 题干 答案 证明WNk的周期性，即WNk?WNk?mN其中:k,m为整数，N为自然数 题干 答案 证明： *(N?k)n*X(N?k)?[?x(n)WN]n?0N?1题干 答案 证明： 题干 答案 证明： 题干 答案 证明： 题干 答案 证明： 题干 答案 证明:Wk?N2NK ??WN证明： Wk?N2N?e?(k?N)?j2N2题干 答案 2证明：WN?(?1)k Nk证明： 题干 答案 证明：WN证明： ?m?WNN?m 题干 证明：