高考数学压轴题精选

第一天

1、已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0,5)且f(x)在区间[－1,4]上的最大值是12。 （I）求f(x)的解析式；

（II）是否存在实数m使得方程f(x)?37x?0在区

间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。

解：（I）?f(x)是二次函数，且f(x)?0的解集是(0,5),

?可设f(x)?ax(x?5)(a?0).

? f(x)在区间??1,4?上的最大值是f(?1)?6a. 由已知，得6a?12,?a?2,?f(x)?2x(x?5)?2x?10x(x?R).?0等价于方程2x?10x?37?0.

22

（II）方程f(x)?337x232设h(x)?2x?10x?37,则h'(x)?6x?20x?2x(3x?10). 当x?(0,当x?(103)时，h'(x)?0,h(x)是减函数；

103,??)时，h'(x)?0,h(x)是增函数。

103)??127?0,h(4)?5?0, 103),(103,4)内分别有惟一实数根，而在区间(0,3),(4,??)内没有实数根，

37x?0在区间(m,m?1)内有且只有两个不同的实数

?h(3)?1?0,h(?方程h(x)?0在区间(3,所以存在惟一的自然数m?3,使得方程f(x)?根。

2、设数列{a}的前n项和为Snn?2n,{bn}为等比数列，

2且a1?b1,b2(a2?a1)?b1.

（I）求数列{an}和{bn}的通项公式； （II）设cn?anbn,求数列{cn}的前n项和Tn.

第二天

3、已知数列?an?中,

a1?1,an?1an?1?anan?1?anan?1an?kn?1,2?n?N?,n?2?,且

n?1(Ⅰ)求证：k?1;

(Ⅱ)设g(x)??n?1?!,f?x?是数列?g?x??的前n项和,求f(x)的解析式;

(Ⅲ)求证：不等式f?2??ng?3?对n?N?恒成立.

anx3

.解:?an?1an?kn?1

故

a2a1?a2?k?1,．……………………………………1分

2又因为a1?1,an?1an?1?anan?1?an则a3a1?a2a1?a22,即

a3a2?n?N?,n?2?

a3a2?2k?1,?a2?2k．………………………3分

?a2?1,又所以k?1?a2?2k,?k?1, ……………………………………4 (2)

an?1anan?n?1,

an?an?1an?2?an?1??????a2a1?a1=n??n?1??...?2?1?n! ……………………………………5

因为g?x??anxn?1?n?1?!=nxn?1

所以,当x?1时,f?x??f?1??1?2?3?......?n?当x?1时,f?x??1?2x?3x?...?nx2n?1n?n?1?2 ……………………………6

……….(1)

n?1?1??x得xf?x??x?2x?3x?...??n?1?x23?nx……(2)

n?1???2?:?1?x?f?x??1?x?x2?...?xn?1?nxn

=

1?xn21?xn1?x?nxn?nx

n ?f?x???1?x?1?x ……………………………7

?n(n?1),x?1?2?综上所述:f(x)?? ……………………………8 nn1?xnx??,x?12?(1?x)1?x?(3)因为?f?2??1?2n2?1?2??n2n1?2??n?1?2?1

n

又

3ng?3??3,易验证当n?1,2,3时不等式不成立; ……………………………9

n假设n?k?k?3?,不等式成立,即3??k?1?2?1

kk两边乘以3得:3k?1?3?k?1?2?3?k?2kk?1k?1?1?3?k?1?2?k2kk?1?2

又因为3?k?1?2?k?2k?2?2kk?3k?3?2k??2??k?3?2kk?1?2?0

所以3k?1?k?2k?1?1?3?k?1?2?k2?2?k?2k?1?1

即n?k?1时不等式成立.故不等式恒成立. ……………………………12

4、已知函数点

f(x)?aln(1?e)?(a?1)x,(其中a?0x) ,

A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3))从左到右依次

是函数y?f(x)图象上三点,且2x2?x1?x3. (Ⅰ) 证明: 函数f(x)在R上是减函数； (Ⅱ) 求证：⊿ABC是钝角三角形;

(Ⅲ) 试问,⊿ABC能否是等腰三角形?若能,求⊿ABC面积的最大值;若不能,请说明理由．

解：(Ⅰ) ?f(x)?aln(1?e)?(a?1)x,

x?f?(x)?aexx1?e?(a?1)??(a?1)?e1?exx?0恒成立,…………………………

所以函数f(x)在(??,??)上是单调减函数. …………………………4分 (Ⅱ) 证明:据题意A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3))且x1