当前位置：首页 > 高中数学必修2 - - 第二章《直线与平面的位置关系》知识点总结与练习 - 图文
1. 平行问题的转化关系：
―→面∥面性质 线∥线判定线∥面―性质性质
2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在性质定理的应用中，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．
3．辅助线(面)是求证平行问题的关键，注意平面几何中位线，平行四边形及相似中有关平行性质的应用．
典题导入
[例1] (2011·福建高考)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
[自主解答] 因为直线EF∥平面AB1C，EF?平面ABCD，且平面
AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC.又因为点E是DA的中点，所以F是DC的中点，1
由中位线定理可得EF＝AC.又因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝22.
2所以EF＝2.
[答案]
2
本例条件变为“E是AD中点，F，G，H，N分别是AA1，A1D1，DD1与D1C1的中点，若M在四边形EFGH及其内部运动”，则M满足什么条件时，有MN∥平面A1C1CA.
解：如图，
∵GN∥平面AA1C1C， EG∥平面AA1C1C， 又GN ∩EG＝G， ∴平面EGN∥平面AA1C1C.
∴当M在线段EG上运动时，恒有MN∥平面AA1C1C.
线面平行、面面平行的基本问题 判定
判定
由题悟法
解决有关线面平行、面面平行的基本问题要注意：
(1)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中条件线在面外易忽视．
(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． (3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．
以题试法
1．(1)(2012·浙江高三调研)已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线( )
A．只有一条，不在平面α内 B．有无数条，不一定在平面α内 C．只有一条，且在平面α内 D．有无数条，一定在平面α内
解析：选C 由直线l与点P可确定一个平面β，且平面α，β有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m，因为l∥α，所以l∥m，故过点P且平行于直线l的直线只有一条，且在平面α内．
(2)(2012·潍坊模拟)已知m，n，l1，l2表示直线，α，β表示平面．若m?α，n?α，l1?β，l2?β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是( )
A．m∥β且l1∥α C．m∥β且n∥l2
B．m∥β且n∥β D．m∥l1且n∥l2
解析：选D 由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D可推知α∥β.
典题导入
[例2] (2012·辽宁高考)如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA′＝1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．
(1)证明：MN∥平面A′ACC′；
1
(2)求三棱锥A′－MNC的体积．(锥体体积公式V＝Sh，
3其中S为底面面积，h为高)
[自主解答] (1)证明：法一：连接AB′、AC′，因为点M，N
直线与平面平行的判定与性质
分别是A′B和B′C′的中点，
所以点M为AB′的中点． 又因为点N为B′C′的中点， 所以MN∥AC′. 又MN?平面A′ACC′， AC′?平面A′ACC′， 因此MN∥平面A′ACC′. 法二：取A′B′的中点P.连接MP.
而点M，N分别为AB′与B′C′的中点，所以MP∥AA′，PN∥A′C′.
所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′.又MP∩PN＝P，
因此平面MPN∥平面A′ACC′.而MN?平面MPN， 因此MN∥平面A′ACC′.
(2)法一：连接BN，由题意得A′N⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B′BCC′＝B′C′，所以A′N⊥平面NBC.
1
又A′N＝B′C′＝1，
2
111
故VA′－MNC＝VN－A′MC＝VN－A′BC＝VA′－NBC＝. 22611
法二：VA′－MNC＝VA′－NBC－VM－NBC＝VA′－NBC＝. 26
由题悟法
利用判定定理证明线面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线，可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．
以题试法
2．(2012·淄博模拟)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1
中，E，F分别是BD，BB1的中点．
(1)求证：EF∥平面A1B1CD； (2)求证：EF⊥AD1.
解：(1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接B1D， 在平面BB1D内，E，F分别为BD，BB1的中点， ∴EF∥B1D.
又∵B1D?平面A1B1CD.
EF?平面A1B1CD， ∴EF∥平面A1B1CD.
(2)∵ABCD－A1B1C1D1是正方体， ∴AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1. 又A1D∩A1B1＝A1， ∴AD1⊥平面A1B1D. ∴AD1⊥B1D.
又由(1)知，EF∥B1D，∴EF⊥AD1.
典题导入
[例3] 如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．
(1)求证：E，B，F，D1四点共面； (2)求证：平面A1GH∥平面BED1F. [自主解答] (1)在正方形AA1B1B中， ∵AE＝B1G＝1， ∴BG＝A1E＝2， ∴BG綊A1E.
∴四边形A1GBE是平行四边形． ∴A1G∥BE. 又C1F綊B1G，
∴四边形C1FGB1是平行四边形． ∴FG綊C1B1綊D1A1.
∴四边形A1GFD1是平行四边形． ∴A1G綊D1F. ∴D1F綊EB.
故E，B，F，D1四点共面． 3
(2)∵H是B1C1的中点，∴B1H＝.
2B1G2
又B1G＝1，∴＝. B1H3
平面与平面平行的判定与性质
本文作者：...共分享92篇相关文档
