高中数学必修2 - - 第二章《直线与平面的位置关系》知识点总结与练习 - 图文

因此GH与MN异面． 所以图②④中GH与MN异面． [答案] ②④

由题悟法

1．异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．

2．客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．

以题试法

2．已知m，n，l为不同的直线，α，β为不同的平面，有下面四个命题： ①m，n为异面直线，过空间任一点P，一定能作一条直线l与m，n都相交． ②m，n为异面直线，过空间任一点P，一定存在一个与直线m，n都平行的平面． ③α⊥β，α∩β＝l，m?α，n?β，m，n与l都斜交，则m与n一定不垂直；

④m，n是α内两相交直线，则α与β相交的充要条件是m，n至少有一条与β相交． 则四个结论中正确的个数为( ) A．1 C．3

B．2 D．4

解析：选B ①错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内且不在直线m上时，就不满足结论；②错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内时， 就不满足结论；③正确，否则，若m⊥n，在直线m上取一点作直线a⊥l，由α⊥β，得a⊥n.从而有n⊥α，则n⊥l；④正确．

典题导入

[例3] (2012·大纲全国卷)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________．

[自主解答] 连接DF，则AE∥DF，

∴∠D1FD即为异面直线AE与D1F所成的角． 设正方体棱长为a， 则D1D＝a，DF＝

55

a，D1F＝a， 22

异面直线所成角

∴cos∠D1FD＝?5a?2＋?5a?2－a2?2??2?3

55

2·a·a22

＝.

5

3

[答案]

5

由题悟法

求异面直线所成的角一般用平移法，步骤如下： (1)一作：即找或作平行线，作出异面直线所成的角； (2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；

(3)三求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．

以题试法

3．(2012·唐山模拟)四棱锥P－ABCD的所有侧棱长都为5，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为( )

25A.

54C. 5

B.5 5

3D. 5

解析：选B 如图所示，因为四边形ABCD为正方形，故CD∥AB，则CD与PA所成的角即为AB与PA所成的角∠PAB，在△PAB内，PB＝PA＝5，AB＝2，利用余弦定理可知：

PA2＋AB2－PB25＋4－55

cos ∠PAB＝＝＝.

2×PA×AB2×2×55

[小题能否全取]

1．(教材习题改编)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b( ) A．异面 C．不可能平行

B．相交 D．不可能相交

解析：选C 由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b.与a，b是异面直线相矛盾．

2．(2012·东北三校联考)下列命题正确的个数为( ) ①经过三点确定一个平面； ②梯形可以确定一个平面；

③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．

A．0 C．2

B．1 D．3

解析：选C ①④错误，②③正确．

3．已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是( )

A．AB∥CD B．AB与CD异面 C．AB与CD相交

D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交

解析：选D 若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线．

4．(教材习题改编)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为________．

解析：连接B1D1，D1C， 则B1D1∥EF，

故∠D1B1C为所求，又B1D1＝B1C＝D1C， ∴∠D1B1C＝60°. 答案：60°

5．(教材习题改编)平行六面体ABCD－A1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱的条数为________．

解析：如图，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1

平行的棱有AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1，故符合条件的棱共有5条．

答案：5

第四节

直线、平面平行的判定及性质

[知识能否忆起]

一、直线与平面平行 1．判定定理 文字语言 平面外一条直线与此平判定定理 面内的一条直线平行，则直线与此平面平行 2．性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平性质定理 行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行

二、平面与平面平行 1．判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 图形语言 符号语言 图形语言 符号语言 a?α??b?α? ?a∥α b∥a??a∥α??a?β? ?a∥b α∩β＝b??一个平面内的两条相交判定定理 直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 a?αb?α??a∩b＝P ?α∥?a∥β??b∥ββ 2．两平面平行的性质定理 文字语言 如果两个平行平面同时性质定理 和第三个平面相交，那么它们的交线平行

图形语言 符号语言 α∥β??α∩γ＝a? ?a∥b β∩γ＝b??