2017届江苏省泰兴中学高三12月阶段性检测数学试题

江苏省泰兴中学2017届高三数学阶段检测附加题

21B．(矩阵与变换) （本小题满分10分）

???1?已知二阶矩阵M有特征值??8及对应的一个特征向量e1???，并且矩阵M将点(?1,3)变换为

?1?(0,8)．求矩阵M．

C．(极坐标与参数方程) （本小题满分10分）

?x?rcos??2已知平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为?(?为参数,r?0)．以直角坐标系原点

y?rsin??2?O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2?sin(??π)?1?0．

4（1）求圆C的圆心的极坐标；（2）当圆C与直线l有公共点时，求r的取值范围．

5页

【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、．．．．．．．证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)

某公司对新招聘的员工张某进行综合能力测试，共设置了A、B、C三个测试项目．假定张某通过项目A的概率为

1，通过项目B、C的概率均为a(0?a?1)，且这三个测试项目能否通过相互独立． 2（1）用随机变量X表示张某在测试中通过的项目个数，求X的概率分布和数学期望E(X)（用a表示）；（2）若张某通过一个项目的概率最大，求实数a的取值范围．

23．(本小题满分10分)

在如图所示的四棱锥S?ABCD中，SA?底面ABCD，?DAB??ABC?90?，SA?AB?BC?a，AD?3a(a?0)，E为线段BS上的一个动点．

（1）证明：DE和SC不可能垂直；

（2）当点E为线段BS的三等分点（靠近B）时，求二面角S?CD?E的余弦值．

SEB

ACD

2017届高三数学阶段检测附加题参考答案

6页

21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． B．(矩阵与变换，本小题满分10分)

?a解:设M???cb??ab??1??1??ab???1??0?，由．．．．．．．．．5分?8?cd??1??1?及?cd??3???8?，d??????????????

?a?b?8?a?6?c?d?8?b?2?62???得?，解得?，∴M??．．．．．．．．．10分 ?．?a?3b?0c?444?? ??????c?3d?8?d?4C．(极坐标与参数方程，本小题满分10分)

?x?rcos??2解：（1）由C:?得(x?2)2?(y?2)2?r2，

?y?rsin??2∴曲线C是以(2,2)为圆心，r为半径的圆，

∴圆心的极坐标为(22,)． ．．．．．．．．5分

?4（2）由l:2?sin(??π)?1?0得l:x?y?1?0，

4从而圆心(2,2)到直线l的距离为d?|2?2?1|5?2， 22∵圆C与直线l有公共点，∴d≤r，即r≥22．(本题满分10分)

解：（1）随机变量X的可能取值为0，1，2，3．

5．．．．．．10分 2． ．

2 112P(X?0)?(1?)C0(1?a)?(1?a)2； 22211112P(X?1)?C0(1?a2)； 2(1?a)?(1?)C2a(1?a)?22211221P(X?2)?C1a(1?a)?(1?)C2a?(2a?a2)； 22221122P(X?3)?C2a?a． 222

从而X的分布列为

X 0 1 2 3 P X的数学期望为

111(2a?a2) (1?a)2 (1?a2) 2227页

a2 2111a24a?1222E(X)?0?(1?a)?1?(1?a)?2?(2a?a)?3??． ．．．．5分

222221（2）P(X?1)?P(X?0)?[(1?a2)?(1?a)2]?a(1?a)，

211?2a， P(X?1)?P(X?2)?[(1?a2)?(2a?a2)]?2211?2a222P(X?1)?P(X?3)?[(1?a)?a]?．

22??a(1?a)≥0?11?1?2a由?．．10分 ≥0和0?a?1，得0?a≤,即a的取值范围是(0,]． ．

222??1?2a2≥0??223．(本题满分10分)

解：（1）∵SA?底面ABCD，?DAB?90?，∴AB、AD、AS两两垂直．

以A为原点，AB、AD、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图）， ．．．．．．．．．．1分

则S(0,0,a)，C(a,a,0)，D(0,3a,0)(a?0)，

∵SA?AB?a且SA?AB，∴设E(x,0,a?x)其中0≤x≤a，

????????∴DE?(x,?3a,a?x)，SC?(a,a,?a)， ．．．．．．．．．2分 ????????假设DE和SC垂直，则DE?SC?0，

即ax?3a2?a2?ax?2ax?4a2?0，解得x?2a，

这与0≤x≤a矛盾，假设不成立，所以DE和SC不可能垂直． ．．．．4分 （2）∵E为线段BS的三等分点（靠近B），∴E(a,0,a)．

2313??????设平面SCD的一个法向量是n1?(x1,y1,z1)，平面CDE的一个法向量是n2?(x2,y2,z2)，

8页