数学模型答案

长方形椅子能否在不平的地面上放稳吗？

【问题提出】

日常生活中有这样的现象：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍微挪动几次，一般都可以使四只脚同时着地．试从数学的角度加以解释． 【模型假设】

为了明确问题，对上述现象中的有关因素在符合日常生活的前提下，作出如下假设： （1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形．

（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断 (没有像台阶那样的情况)，即从数学的角度看，地面是连续曲面．这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件．

（3）椅子在任何位置至少有三只脚同时着地．为保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的．因为在地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰(即使是连续变化的)，此时三只脚是无法同时着地的． 【建立模型】

在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来．

首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动．生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换．然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的．于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形．

注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地．把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置．为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题．

如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系．椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD转至A1B1C1D1 的位置，这样就可以用旋转角θ（0≤θ≤π）表示出椅子绕点O旋转θ后的位置．

其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来．

我们知道，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地．由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数．

由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数．而由假设(3)可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0．因此，只需引入两个距离函数即可．考虑到长方形ABCD是中心对称图形，绕其对称中心 O沿逆时针方向旋转180°后，长方形位置不变，但A,C和B,D对换了．因此，记

A、B两脚与地面竖直距离之和为f（θ），C、D两脚与地面竖直距离之和为g（θ），其中θ∈[0，π]，从而将原问题数学化。

数学模型：已知f（θ）和g（θ）是θ的非负连续函数，对任意θ，f（θ）?g(θ)＝0，证明：存在θ0∈[0，π]，使得f（θ0）＝g（θ0）＝0成立。 【求解模型】

如果f（0）＝g（0）＝0，那么结论成立。

如果f（0）与g（0）不同时为零，不妨设f（0）＞0，g（0）＝0。这时，将长方形ABCD绕点O逆时针旋转角度π后，点A，B分别与C，D互换，但长方形ABCD在地面上所处的位置不变，由此可知，f（π）＝g（0），g（π）＝f（0）.而由f（0）＞0，g（0）＝0，得g（π）＞0， f（π）＝0。

令h（θ）＝f(θ)－g（θ），由f(θ)和g(θ)的连续性知h(θ)也是连续函数。

又h（0）＝f(0)－g（0）＞0，h（π）＝f(π)－g（π）＜0，,根据连续函数介值定理，必存在θ0

∈（0，π）使得h（θ0）＝0，即f（θ0）＝g（θ0） ；

又因为f（θ0）?g（θ0）＝0，所以f（θ0）＝g（θ0）＝0。于是，椅子的四只脚同时着地，放稳了。 【评注】

用函数的观点来解决问题，引入合适的函数是关键．本模型的巧妙之处就在于用变量θ表示椅子的位置，用θ的两个函数表示椅子四只脚与地面的竖直距离．运用这个模型，不但可以确信椅子能在不平的地面上放稳，而且可以指导我们如何通过旋转将地面上放不稳的椅子放稳．

商人，鸡，米过河

一 问题的提出

模仿“商人过河”模型，做下面游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。设计一个过河方案，建立数学模型，并使渡河次数尽量地少。

二 问题的分析

因为这是个简单问题，研究对象少所以可以用穷举法，简单运算和图论 即可解题。从状态（1,1,1,1）经过奇数次运算变为状态（0,0,0,0）的状态转移过程为什么是奇数次？我们注意到过河有两种，奇数次的为从南岸到北岸，而偶数次的为北岸回到南岸，因此得到下述转移方程，所以最后应该是事件结束时状态转移数为奇数次。

三 基本假设

3,1假设船，划船的人外至多能载猫、鸡、米三者之一。 3,2当人不在场时，猫一定会吃鸡、鸡一定会吃米。

四 定义符号说明

我们将人，猫，鸡，米依次用四维向量中的分量表示，当一物在此岸时，相应分量记为1，在彼岸时记为0.如向量（1,0,1,0）表示人和鸡在此案，猫和米在彼岸，并将这些向量称为状态向量。

五 模型的建立

我们将人，猫，鸡，米依次用四维向量中的分量表示，即（人，猫, 鸡, 米）。 状态向量：各分量取1表示南岸的状态，例如

表示它们都在南岸，（0，1，1，0）表示狗，鸡在南岸，

人，米在北岸；由于问题中的限制条件，有些状态是允许的，有些状态是不允许的。凡问题可以允许存在的状态称为可取状态。对本问题来说，可取状态向量可以用穷举法列出来：

（1, 1, 1, 1），（1, 1, 1, 0），（1, 1, 0, 1），（1, 0, 1, 1），（1, 0, 1, 0）；（,0, 0, 0, 0），（0, 0, 0, 1），（0, 0, 1, 0），（0, 1, 0, 0）,（0,1,0,1）.

六 模型的求解

经过连线求解可以知道有以下图形：

人 猫 鸡 米

人 猫 鸡 米 上图又可以简化为：

即：

图6.1人 猫 鸡 米 过河示意图

七 结果分析

从图看出有二解，分别是经过（0,0,0,1）到（0,0,0,0）和经过（0,1,0,0）到（0,0,0,0）而它们是等优的。

实物交换

一问题描述：

用实物交换模型中介绍的无差别曲线的概念，讨论以下雇员与雇主之间的协议关系:

(1)以雇员一天的工作时间t和工资w分别为横坐标和纵坐标，画出雇员无差别曲线族的示意图.解释曲线问什么是你画的那种形状。

(2)如果雇主付计时工资，对不同的工资率（单位时间的工资）画出计时工资线族，根据雇员的无差别曲线族和雇主的计时工资线族，讨论双方将在怎样的一条曲线上达成协议。

(3)雇员和雇主已经达成了一个协议（工作时间t1和工资w1）。如果雇主想使雇员的工作时间增加到

t2，他有两种办法：一是提高计时工资率，在协议线的另一点（t2，w2）达成新的协议；而是实行超时工资制，即对工时t1仍付原计时工资，对工时t2?t1付给更高的超时工资。试用作图的方法分析哪种办

法对雇主有利，指出这个结果的条件。

问题假设：

1．雇员能够在工作时间内完成劳动； 2．雇主能够及时发放工资；

3．雇员若能超量完成工作，则雇主要加薪；若不能按时完成工作，则雇主可以减薪。 符号说明：

t：雇员一天的工作时间 w：雇员一天的工资

t1：雇员和雇主达成协议的工作时间 w1：雇员和雇主达成协议的工资

t2：雇主想使雇员增加到的新的工作时间 w2：雇主使雇员增加到的新的工作时间的工资 P1、P2 双方确定的协议点 问题分析： 1.问题（1）的分析：

分析雇员一天的工作时间与工资的变化关系，确定增减性，斜率的变化等，由此画出雇员的无差别曲线族示意图。 2.问题（2）的分析：

分析雇主要求的一天的工作时间与工资的变化关系，确定增减性，变化率等，对不同的工资率画出计时工作线族，并找出达成协议的曲线。 3.问题（3）的分析：

在达成协议的曲线上分析雇主的两种方法，总结出对雇主更有利的方案。 模型建立与求解： 1.问题（1）的求解：

以雇员一天的工作时间t和工资w分别为横坐标和纵坐标，画出雇员无差别曲线族（如图1）