人教A版数学选修1-2第三章《数系的扩充与复数的引入》章末归纳提升及答案

高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入章末归纳提升3 新人教

A版选修1-2

复数的概念及分类 复数是在实数的基础上扩充的，其虚数单位为i，满足i＝－1，且i同实数间可以进行加、减、乘、除法的运算，结合复数的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)中，a、b的条件可把复数分为：

复数(z＝a＋bi，

2?实数

a、b∈R)?虚数

?

b＝b，

??纯虚数a＝0，b???非纯虚数a≠0，b，

其中纯虚数中“b≠0”这个条件易被忽略，学习中应引起足够的注意．

1＋ai

设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为( )

2－i

A．2 B．－2 1C．－ 2

1D． 2

【思路点拨】 先将已知复数化为“a＋bi”的形式，再由纯虚数定义求a. 【规范解答】 法一 2－a＋

5

法二

1＋ai

＝2－i

1＋ai

＝2－i

＋a－

＋＋

＝

a＋

为纯虚数，所以2－a＝0，a＝2，故选A.

a－

2－i

为纯虚数，所以a＝2，故选A.

【答案】 A

若复数(a－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则

( )

A．a＝－1 B．a≠－1且a≠2 C．a≠－1

??a－a－2＝0

【解析】 a－a－2≠0或?

??|a－1|－1＝0

2

2

2

D．a≠2

，

a≠－1且a≠2或a＝2.

综上可知，a≠－1. 【答案】 C

复数的四则运算 复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分母有理化，要注意i＝－1.在进行复数的运算时，要灵活利用i，ω的性质，或适当变形创造条件，从而转化为关于i，ω的计算问题，并注意以下结论的灵活应用：

131223n3n＋1

(1)设ω＝－±i，则ω＝ω，＝ω，ω＝1，ω＝ω(n∈N＋)等．

22ω133

(2)(±i)＝－1.

22

(3)作复数除法运算时，有如下技巧：论可使一些特殊的计算过程简化．

2

a＋bia＋b＝b－aib－a＝a＋ba＋bi

＝i，利用此结

z2－2z 已知复数z＝1－i，则＋z＝( )

z－1

A．1－i B．－2i C．1＋i

D．－2

z2－2z【思路点拨】 先计算z1＝，再计算z1＋z.

z－1z2－2z【规范解答】 法一 ＝z－1

＝

－2i

＝－2i， －i·i

－

－－－－1

2

－2i－2＋2i＝ －i

z2－2z∴＋z＝－2i＋1＋i＝1－i.故选A. z－1z2－2zz－2－11法二 ＝＝z－1－

z－1z－1z－1

＝(－i)－

1－i

＝－i－＝－2i.

－i·i

z2－2z∴＋z＝－2i＋1＋i＝1－i.故选A. z－1

【答案】 A

计算：(1)

＋－3

45

；

－23＋i22 006(2)＋().

1－i1＋23i【解】 (1)

＋－3

2

45

＝

－

2

4

＋

5

4

13

－＋22

5

＝－

2

5

2

4

2i

13－＋i22

2

13＝2(－＋i) 22＝－1＋3i.

－23＋i22 006－23＋ii2(2)＋()＝＋1－i－2i1＋23i1＋23ii＝

－23＋ii－23

i1－1 003 i

1 003

1 003

1＝i－ －i＝i－i＝0.

共轭复数与模 共轭复数与复数的模是复数中两个重要的概念，在解决有关复数问题时，除用共轭复数定义与模的计算公式解题外，也常用下列结论简化解题过程：

(1)|z|＝1?z＝

1；

z(2)z∈R?z＝z；

(3)z≠0，z为纯虚数?z＝－z.

z1＋z2

设z1、z2∈C，且|z1|＝1，|z2|≠1，求||的值．

1＋z1·z2

【思路点拨】 利复数模的性质：z·z＝|z|进行化简． 【规范解答】 ∵|z1|＝1， ∴|z1|＝z1·z1＝1.

2

2

z1＋z2z1＋z211

从而||＝||＝||＝＝1.

|z1|1＋z1z2z1z1＋z2z1

已知z∈C，解方程z·z－3iz＝1＋3i. 【解】 ∵z·z＝|z|，把方程变形为 1－|z|

z＝－1＋i，①

3两边取模得|z|＝|z|＝1＋整理得|z|－11|z|＋10＝0. 解得|z|＝1或|z|＝10.

将其代入①得z＝－1或z＝－1－3i. ∴z＝－1或z＝－1＋3i.

2

2

4

22

2

2

2

－|z|9

22

. 复数的几何意义 1.复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．

2．任何一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内一点Z(a，b)对应，而任一 点(a，b)→

又可以与以原点为起点，点Z(a，b)为终点的向量OZ对应，这些对应都是一一对应，由此得到复数的几何解法，特别注意|z|、|z－a|的几何意义——距离．

3．复数加减法几何意义的实质就是平行四边形法则和三角形法则． 由减法的几何意义知|z－z1|表示复平面上两点Z，Z1间的距离． 4．复数形式的基本轨迹

(1)当|z－z1|＝r时，表示复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的