2020年吉林省长春十一中高考数学模拟试卷(理科)(带答案)

∵SB⊥AM且AC、AM为平面SAC内两条相交直线， ∴SB⊥平面SAC，

∵SA、SC在平面SAC内， ∴SB⊥SA且SB⊥SC，

∵三棱锥S-ABC是正三棱锥，

∴SA、SB、SC三条侧棱两两互相垂直． ∵底面边长AB=2， ∴侧棱SA=2，

∴正三棱锥S-ABC的外接球的直径为：2R=，R=， ∴正三棱锥S-ABC的外接球的表面积是S=4πR2=12π. 故选：B．

12. 解：设双曲线的右焦点为F2，则F2的坐标为（c，0） 因为曲线C1与C3有一个共同的焦点，所以y2=4cx

因为O为F1F2的中点，M为F1N的中点，所以OM为△NF1F2的中位线， 所以OM∥NF2，

因为|OM|=a，所以|NF2|=2a

又NF2⊥NF1，|FF2|=2c所以|NF1|=2b

设N（x，y），则由抛物线的定义可得x+c=2a， ∴x=2a-c

过点F1作x轴的垂线，点N到该垂线的距离为2a 由勾股定理y2+4a2=4b2，即4c（2a-c）+4a2=4（c2-a2） 得e2-e-1=0， ∴e=

．

故选：D

双曲线的右焦点的坐标为（c，0），利用O为F1F2的中点，M为F1N的中点，可得OM为△NF1F2的中位线，从而可求|NF1|，再设N（x，y）过点F作x轴的垂线，由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率．

本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查抛物线的定义，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．

13. 解：因为=（1，-2），+=（0，2），所以

所以故答案为：

；

=（-1，4），

首先利用向量的减法运算得到向量的坐标，然后求模．

本题考查了向量加减法的坐标运算以及有向量坐标求模；属于基础题． 14. 【分析】

根据题意可知随机变量X服从正态分布，得到曲线关于x=3对称，根据曲线的对称性得到结果．

本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题． 【解答】

解：由X～N（3，σ2）可知随机变量X服从正态分布， ∴曲线关于x=3对称，

∵P（X＞m）=0.3，x=m和x=6-m关于x=3对称， ∴P（X＞6-m）=1-0.3=0.7， 故答案为：0.7．

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15. 解：方程f（x）=mx-恰有四个不相等的实数根可化为

函数f（x）=作函数f（x）=

与函数y=mx-有四个不同的交点， 与函数y=mx-的图象如下，

由题意，C（0，-），B（1，0）； 故kBC =，

当x＞1时，f（x）=lnx，f′（x）=； 设切点A的坐标为（x1，lnx1）， 则

=；

；

解得，x1=

故kAC =； 结合图象可得，

实数m的取值范围是（，）． 故答案为：（，）．

方程f（x）=mx-恰有四个不相等的实数根可化为函数f（x）=有四个不同的交点，作函数f（x）=

与函数y=mx-

与函数y=mx-的图象，由数形结合求解．

本题考查了方程的根与函数的零点的关系应用及函数的图象的作法与应用，属于基础

题．

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16. 解：设bn=nSn+（n+2）an，

∵数列{an}的前n项和为Sn，且a1=a2=1， ∴b1=4，b2=8， ∴bn=b1+（n-1）×（8-4）=4n， 即bn=nSn+（n+2）an=4n

当n≥2时，Sn-Sn-1+（1+）an-（1+∴即2?

=，

，

）an-1=0

∴{}是以为公比，1为首项的等比数列， ∴=∴

， ．

令bn=nSn+（n+2）an，由已知得b1=4，b2=8，从而bn=nSn+（n+2）an=4n，进一步得到{}是以为公比，1为首项的等比数列，由此能求出{an}的通项公式．

本题考查数列的通项公式的求法，考查等差数列的性质，解答的关键是注意构造法和等差数列、等比数列的性质的合理运用，是中档题．

17. （1）已知等式利用正弦定理化简，再利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式变形，整理后再利用正弦定理化简，利用等差数列的性质判断即可得证； （2）利用三角形面积公式列出关系式，把sinB与已知面积代入求出ac的值，利用余弦定理列出关系式，整理得出b的值即可．

此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，诱

导公式，等差数列的性质，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．（1）连结OC，则OC⊥AB，从而OC⊥平面ABEF，进而OF⊥OE，由此能证明OE⊥FC． 18.

（2）取EF的中点D，以O为原点，OC，OB，OD所在的直线分别为x，y，z轴，建

立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F-CE-B的余弦值．

本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

19. （1）由频数分布表和频率分布直方图求出①处填20，②处填0.35；补全频率分布

直方图，根据频率分布直方图能估计这500名志愿者中年龄在[30，35）的人数． （2）用分层抽样的方法，从中选取20人，其中“年龄低于30岁”的有5人，“年龄不低于30岁”的有15人．由题意知，X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

本题考查频数的求法，考查离散型随机变量分布列、数学期望的求法，考查古典概型、频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

20. （1）由题设可得c2-c+=0①，又点P在椭圆C上，可得?a2=2②，又

b2+c2=a2=2③，①③联立解得c，b2，即可得解．

x2+4kmx+2m2-2=0（2）设动直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程消去y，整理得（2k2+1）（﹡），由△=0，得m2=2k2+1，假设存在M1（λ1，0），M2（λ2，0）满足题设，则由

=|

|=1对任意的实数k恒成立．由

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即可求出这两个定点的坐标．

本题主要考查了椭圆的标准方程的解法，考查了直线与圆锥曲线的关系，综合性较强，属于中档题．

21. （1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得a=1，求导数，求单调区间和极值，令m＜1＜m+1，解不等式即可得到取值范围； （2）不等式过导数，求得

＞＞

即为，令h（x）=

?

＞

，令g（x）=

，通，原不

，运用导数证得h（x）＜h（1）=

等式即可得证．

本题考查导数的运用：求切线的斜率、单调区间和极值，同时考查构造函数求导数，判断单调性，运用单调性证明不等式，属于中档题．

22. （I）先消去参数将曲线C1与C2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点

坐标即可，

（II）设P（x，y），利用中点坐标公式得P点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．

本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力．

23. 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，属于中档题．

（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可； （2）求出

的最大值，问题转化为|x-1|+|x+1|≥3，解出即可．

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