2019年人教版九年级数学下册28.2.1解直角三角形

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2019年人教版九年级数学下册28

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XX学校

28．2．1 解直角三角形

1．理解解直角三角形的意义和条件；(重点)

2．根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素．(难点)

一、情境导入

世界遗产意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜．设塔顶中心点为B, 塔身中心线与垂直中心线夹角为∠A，过点B向垂直中心线引垂线，垂足为点C.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m，求∠A的度数．

在上述的Rt△ABC中，你还能求其他未知的边和角吗？ 二、合作探究

探究点一：解直角三角形

【类型一】 利用解直角三角形求边或角

已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，按下列条件解直角三角形．

(1)若a＝36，∠B＝30°，求∠A的度数和边b、c的长； (2)若a＝62，b＝66，求∠A、∠B的度数和边c的长．

解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形．

解：(1)在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，a＝36，∴∠A＝90°－∠B＝60°，∵cosB＝ac，即c＝acosB＝3632＝243，∴b＝sinB?c＝12×243＝123；

(2)在Rt△ABC中，∵a＝62，b＝66，∴tanA＝ab＝33，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴c＝2a＝122.

方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，解题时尽可能地选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4题 【类型二】 构造直角三角形解决长度问题

一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝122，试求CD的长．

解析：过点B作BM⊥FD于点M，求出BM与CM的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝60°，利用解直角三角形解答即可．

解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝122，∴BC＝AC＝122.∵AB∥CF，∴BM＝sin45°BC＝122×22＝12，CM＝BM＝12.在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°，∴MD＝BMtan60°＝43，∴CD＝CM－MD＝12－43.

方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第4题 【类型三】 运用解直角三角形解决面积问题

如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，sinA＝37，D为边AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝6.求△ABC的面积．

解析：首先利用正弦的定义设BC＝3k，AB＝7k，利用BC＝CD＝3k＝6，求得k值，从而求得AB的长，然后利用勾股定理求得AC的长，再进