2003年高考数学试题（上海理）及答案-精编解析版

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2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）

数 学（理工农医类）

第Ⅰ卷 （共110分）

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一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分 1．函数y?sinxcos(x?2．若x??4)?cosxsin(x??4)的最小正周期T= .

?3是方程2cos(x??)?1的解,其中??(0,2?),则?? . 3．在等差数列{an}中，a5=3, a6=－2,则a4+a5+?+a10= 4．在极坐标系中，定点A(1,?2),点B在直线?cos???sin??0上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标

是 5．在正四棱锥P—ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA与BC所成角的大小等

于 .（结果用反三角函数值表示） 6．设集合A={x||x|<4},B={x|x2－4x+3>0}, 则集合{x|x∈A且x?A?B}= . 7．在△ABC中，sinA;sinB:sinC=2:3:4,则∠ABC= .（结果用反三角函数值表示）

8．若首项为a1，公比为q的等比数列{an}的前n项和总小于这个数列的各项和，则首项a1，公比q的一组取值

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可以是（a1，q）= .

9．某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人，

则此两人不属于同一个国家的概率为 .（结果用分数表示） 10．方程x3+lgx=18的根x≈ .（结果精确到0.1） 11．已知点A(0,),B(0,?),C(4?2n2n2,0),其中n的为正整数.设Sn表示△ABC外接圆的面积，则nlimSn= .

n??x2y2?12．给出问题：F1、F2是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到1620焦点F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17. 该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空

格内.

二、选择题（本大题满分16分）本大题共4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一

个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分.

13．下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是 （ ）

A．y=tg|x|.

B．y=cos(－x). C．y?sin(x??2). D．y?|ctgx|. 214．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是 （ ） A．α、β都垂直于平面r； B．α内存在不共线的三点到β的距离相等.

C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β； D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α, l∥β，m∥β. 15．a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0的解集分别为集合M和N，

那么“

a1b1c1??”是“M=N”的 a2b2c2（ ）

D．既非充分又非必要条件.

A．充分非必要条件. B．必要非充分条件. C．充要条件

16．f(x)是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令g（x）=af（x）+b，则下列关于函数g（x）的叙述正确的是

（ ）

A．若a<0,则函数g（x）的图象关于原点对称.

B．若a=－1，－2

三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17．（本题满分12分）已知复数z1=cosθ－i，z2=sinθ+i，求| z1·z2|的最大值和最小值. 18．（本题满分12分）已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AB=4，AD=2.若B1D⊥BC，直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°，求平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积. D1 C1

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B1 D C 复兰高考名师在线：（http://www.fulaan.com）

19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分. 已知数列{an}（n为正整数）是首项是a1，公比为q的等比数列.

0120123 （1）求和：a1C2?a2C2?a3C2,a1C3?a2C3?a3C3?a4C3;

（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明. 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.

（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱 宽l是多少？

（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设 计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧 道的土方工程量最最小？ （半个椭圆的面积公式为S??4lh，柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到0.1米）

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21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分.

在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，－3）为△OAB的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大

于零. （1）求向量AB的坐标；

（2）求圆x2?6x?y2?2y?0关于直线OB对称的圆的方程；

（3）是否存在实数a，使抛物线y?ax2?1上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由：若存

在，求a的取值范围.

22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.

已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x+T)=T f(x)成立. （1）函数f(x)= x 是否属于集合M？说明理由；

（2）设函数f(x)=ax（a>0,且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明： f(x)=ax∈M；

（3）若函数f(x)=sinkx∈M ,求实数k的取值范围.

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