(优辅资源)湖南省高三上学期月考(三)数学(文)试题 Word版含答案

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直线y＝x－1与圆(x－5)＋y＝13相切于点B(2，2)；

2

11

∵ax＋y－1＝0可化为y＝－ax＋1，故－a≥kAB＝，故a≤－，故选D.

22

选择题答题卡

题 (1) 号 答 D 案 第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分．

(13)若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，那么a与b的夹角为__120°__． (14)在平面直角坐标系xOy中，若直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)＋(y－a)＝16相交于A，B两点，且△ABC为直角三角形，则实数a的值是__－1__．

【解析】圆的半径是4，△ABC是直角三角形，则圆心C到直线AB的距离为22，

2

2

(2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) C C B A D C C B C B D 所以

|a＋a－2|

a2＋1

＝22，解得a＝－1.

(15)如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的2π

体积为__4＋__．

3

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12π

【解析】相当于一个圆锥和一个长方体，故体积为π·2＋2·2·1＝4＋.

33(16)设函数f(x)＝e(2x－1)－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)<0，则a的取值范围是__?

x?3，1?__．

??2e?xx【解析】f(x)<0?e(2x－1)

则题意说明存在唯一的整数x0，使g(x)的图象在直线y＝ax－a下方，g′(x)＝e(2x＋1)，

11

当x<－时，g′(x)<0；当x>－时，g′(x)>0，

22

11?1?因此当x＝－时，g(x)取得极小值也是最小值g?－?＝－2e－，又g(0)＝－1，g(1)

22?2?＝e>0，

??－a>g（0）＝－13

直线y＝ax－a过点(1，0)且斜率为a，故?，解得≤a<1. －1

2e?g（－1）＝－3e≥－a－a?

x

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分12分)

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????已知向量m＝?3sin，1?，n＝?cos，cos?，记f(x)＝m·n.

4?4???4

2

xxx?π?(Ⅰ)若f(x)＝1，求cos?x＋?的值；

3??

(Ⅱ)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足 (2a－c)cos B＝bcos C，求f(2A)的取值范围．

xx3x1x1?xπ?1 2x【解析】(Ⅰ)f(x)＝m·n＝3sincos＋cos＝sin＋cos＋＝sin?＋?＋，

44422222?26?2

π?1?xπ?1?π?2?x由f(x)＝1，得sin?＋?＝，所以cos?x＋?＝1－2sin?＋?＝.(5分)

3??26?2??26?2(Ⅱ)因为(2a－c)cos B＝bcos C，由正弦定理得

(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，所以2sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C， 所以2sin Acos B＝sin(B＋C)，因为A＋B＋C＝π，

1ππ

所以sin(B＋C)＝sin A，且sin A≠0，所以cos B＝，又0

22322ππππππ2π

则A＋C＝π，A＝π－C，又0

332262363所以

3?π??π?1

6?6?22??

故函数f(2A)的取值范围是?(18)(本小题满分12分)

?3＋13?

，?.(12分) 2??2

如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD将△ABC折成60°的二面角B－AD－C，如图2.

(Ⅰ)证明：平面ABD⊥平面BCD；

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(Ⅱ)设E为BC的中点，求异面直线AE与BD所成的角．

【解析】(Ⅰ)因为折起前AD是BC边上的高，则当△ABD折起后，

AD⊥CD，AD⊥BD.(2分)

又CD∩BD＝D，则AD⊥平面BCD.(3分)

因为AD?平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD.(4分)

(Ⅱ)取CD的中点F，连结EF，则EF∥BD， 所以∠AEF为异面直线AE与BD所成的角．(6分)

连结AF、DE.设BD＝2，则EF＝1，AD＝23，CD＝6，DF＝3. 在Rt△ADF中，AF＝AD＋DF＝21.(8分) 在△BCD中，由题设∠BDC＝60°，

则BC＝BD＋CD－2BD·CDcos∠BDC＝28，即BC＝27， 1BD＋BC－CD1

从而BE＝BC＝7，cos∠CBD＝＝－.

22BD·BC27在△BDE中，DE＝BD＋BE－2BD·BEcos∠CBD＝13. 在Rt△ADE中，AE＝AD＋DE＝5.(11分)

222

2

2

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2

AE2＋EF2－AF21

在△AEF中，cos∠AEF＝＝. 2AE·EF2

所以异面直线AE与BD所成的角为60°.(12分) (19) (本小题满分12分)

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