定积分在经济中的应用习题解答

定积分在经济中得应用习题解答

1．设商品的需求函数Q?100?5p（其中：Q为需求，p为单价）、边际成本函数

C??Q??15?0.05Q且C?0??12.5

问：当p为什么值时？工厂的利润达到最大？试求出最大利润.

解 收益函数为

R(p) = 100 p -5 p 2

成本函数为

C(Q)??(15?0.05t)dt?C(0)

0Q ?15Q?12Q?12.5 4052p?50p?1262.5 8由已知将Q = 100 - 5p代入上式，得

C(p)?于是利润函数为

452p?150p?1262.5 845212012045120令L'??p?150?0 得 p?,且L'()????0

47727120故当 时利润达到最大，且最大利润 p?7120maxL()=23.12.

7L(P)= R(p) - C(p) ??2. 某厂生产的某一产品的边际成本函数

C??Q??3Q2?18Q?33

且当产量为3个单位时，成本为55个单位，求：

(1) 成本函数与平均成本函数；

(2) 当产量由2个单位增加到10个单位时，成本的增量是多少？ 解 (1) 因为 C(Q)??Q02(3Q?1Q8?33d )Q?Q3?9Q2?33Q?C

由已知当产量Q为3时，成本为55，代入上式得C = 10, 于是 成本函数为

C(Q)?Q3?9Q2?33Q?10

平均成本函数为

C(Q)?C(Q)10?Q2?9Q?33? QQ(2) 当产量由2个单位增至10个单位时，成本的增量是

?C(Q) = C(10) – C(2) = 392.

3. 已知生产某产品的固定成本为6万元，边际收益与边际成本（单位:万元/百台）分 别为

R'(Q)?33?8Q，C?(Q)?3Q2?18Q?36

(1) 求当产量由1百台增加到4百台时，总收益与总成本各增加多少？ (2) 求产量为多少时, 总利润最大？

(3) 求最大总利润时的总收益、总成本、总利润. 解 (1)由公式得总收益与总成本的增量为

?1(33?8Q)dQ?39(万元)

4?(2)由极值存在的必要条件：

41(3Q2?18Q?36)dQ?36(万元)

边际收益R'(Q)＝边际成本C?(Q)

即

33?8Q＝3Q2?18Q?36

解得Q1?1,Q2?3，又由极值存在的充分条件： 3R\Q)?(33?8Q)'??8,C(Q)\?(3Q2?18Q?36)'?6Q?18

显然，Q?3满足充分条件，即获得最大总利润的产量是Q?3百台. (3) 由公式得最大总利润总收益与总成本

?0(33?8Q)dQ?63 (万元)

3?所以

30(3Q2?18Q?36)dQ?60 (万元)

最大总利润＝总收益－总成本＝63－60＝3 (万元).