1.9三角函数的简单应用

1.9三角函数的简单应用

———潮汐问题

一、教学目标

1、知识与技能目标：巩固已学过的三角函数的知识，求给定自变量的函数值。已知三角函数值，求角。

2、能力目标：培养学生数学的实际应用能力和意识。

3、情感、态度和价值观：让学生进一步了解数学来源于生活。 二、教学重点：用三角函数刻画潮汐变化规律。 三．教学难点：对实际问题的数学解释。 四．学情分析————————————————————————————————————————————————————————————————————————— 五．学法指导：启发，类比，小组讨论 六．教学方法：探究交流，讲练结合

七、教学过程：

1、新课引入：在客观现实世界中存在着大量的周期性变化现象，而要定量地去刻画这些现象，我们通常需要借助于三角函数这一重要数学模型。这节课我们将来学习三角函数模型的简单应用。 2、提出问题：

若干年后，如果在座的各位有机会当上船长的话， 当你的船只要到某个港口去 ，你作为船长，你希望知道关于那个港口的一些什么情况？（生答：水深情况等） 我们要到一个陌生的港口时，是非常想得到一张有关那个港口的水深与时间的对应关系数值表。那么这张表格是如何产生的呢？请同学们看下面这个问题。

问题1：如图所示，下面是某个码头在某年某个季节每天的时间与水深的关系表： 时0.0间 0 水5.0 深 1.00 6.25 3.00 7.5 6.00 5.0 8.00 2.84 9.00 2.5 12.00 5.0 15.00 7.5 18.00 5.0 21.00 2.5 24.00 5.0 水的深度变化有什么特点吗？（生答：水的深度开始由5.0米增加到7.5米，后逐渐减少一直减少到2.5，又开始逐渐变深，增加到7.5米后，又开始减少。）

大家发现，水深变化并不市杂乱无章，而是呈现一种周期性变化规律，为了更加直观明了地观察出这种周期性变化规律，需要画图。电脑呈现作图结果。

1

通过观察图像，发现跟我们前面所学过哪个函数类型非常的相似？（生答：跟三角函数模型

。）

请同学们把其中的

A、

?、?、b

求出来。(生答：

)

有了这个模型，我们要制定一张一天24内整时刻的水深表，就是件非常容易的事情了，下面同学算一下在4时的时候水深是多少？（学生计算，最后教师呈现水深关于时间的数值表）

时1.00 刻 水5.000 深 时13.00 刻 水6.250 深 7.165 7.500 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 5.000 14.00 15.00 16.00 17.00 18.00 19.00 20.00 21.00 22.00 23.00 24.00 6.250 7.165 7.500 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 5.000 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00 11.00 12.00 问题2：一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），试问：该船何时能够进入港口？在港口能呆多久？ 师生一起分析：货船能够进入港口所需要满足的条件是什么？

解我们知道三角方程在实数范围内有解就有无数个，那么在[0，24]范围内,其

他一些解该怎么求呢？（图像）

发现：在[0，24]范围内，方程的解共有4个。

得到了4个交点的横坐标值后，大家结合图象说说货船应该选择什么时间进港？什么时间出港呢？（生答：货船可以在0时30分钟左右进港，早晨5时30分钟左右出港；或者是中午12时30分钟左右进港，在傍晚17时30分钟左右出港。）

2

大家看看刚才整个过程，货船在进港，在港口停留，到后来离开港口，货船的吃深深度一直没有改变，也就是说货船的安全深度一直没有改变，但是实际情况往往是货船载满货物进港，在港口卸货，在卸货的过程中，由物理学的知识我们知道，随着船身自身重量的减小，船身会上浮，换句话说，随着货物的卸载，货船的安全深度不再向开始那样一直是一个常数，现在它也是一个关于时间的变量，而实际水深也一直在变化，这样一来当两者都在改变的时候，我们又改如何选择进出港时间呢？

问题3：一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？ 分析：

我们先把货船安全需要满足的条件给写出来：安全即需要：实际水深安全水深

即：，

通过图象可以看出，当快要到P时刻的时候，货船就要停止卸货，驶向深水区。那么P点的坐标如何求得呢？

P点横坐标即为方程解，很显然，精确解我们是无法求

得，我们只能是求得其近似解，前面我们在求方程的近似解的时候通常采用什么方法？（二分法）

由图得点P在[6，7]，故我们只需要算出6，6.5，7三个时刻的安全水深与实际水深的数值表就可以回答上面的问题。

时间 6．0 6．5 7．0 实际水深 5米 4．2米 3．8米 安全水深 4．3米 4．1米 4．0米 是否安全 安全 较安全 危险 货船应该在6时30分驶离港口。 3、课堂小结： 思想方法：

（1）对实际问题处理过程是，首先是挖掘其中的数学本质，将实际问题转化为数学问题；体现了数学中的转化思想；

（2）在对一些数据处理的过程用到了估算的思想；

3

（3）在用代数方法处理困难的一些题目的解决中，用到了数形结合的思想； （4）在方程的求解过程中，用到了算法中“二分法”思想。

八．板书设计

九．关键词：三角函数的简单应用 十．教学反思

第二课时 随堂训练

一、选择题(每小题5分，共20分)

π1

1．电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin(100πt＋)，则当t＝ s3200

时，电流强度I为( )

A．5 A B．2.5 A C．2 A D．－5 A

11ππ

解析： 当t＝ s时，I＝5sin(100π×＋)＝5cos＝2.5 A.

20020033

答案： B

2．如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π<θ<π)与时间t(s)满足

1π

函数关系式θ＝sin(2t＋)，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是( )

22

111A.， B．2， 2ππ1

C.，π D．2，π 2

1π12π1

解析： t＝0时θ＝sin＝，由函数解析式易知单摆周期为＝π，故频率为.

2222π

答案： A

π?π?3．已知简谐运动f(x)＝2sin?x＋φ?(|φ|<)的图像经过点(0,1)，则该简谐运动2?3?

的最小正周期T和初相φ分别为( )

4