罗默《高级宏观经济学》（第3版）课后习题详解（第7章 消 费）

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不确定性程度的增加，降低了第一期的消费，从而增加了储蓄。消费者在面对不确定性时会积累预防性储蓄。

7.14 时间不一致性偏好。考虑一个存活三个时期的人。他在第一期的目标函数为lnc1??lnc2??lnc3，其中0???1。在第二期的目标函数为lnc2??lnc3（由于个人在第三期的选择问题并不重要，因而第三期的目标函数与本题无关）。个人财富为W，真实利率为0。

（a）根据以下关于消费决策的假定，求c1、c2和c3的值。 ①承诺：个人在第一期选择c1、c2和c3。

②不承诺、幼稚：个人在第一期通过最大化第一期目标函数来选择c1，并自以为他也将通过最大化该目标函数来选择c2。但事实上，他会通过最大化第二期目标函数来选择c2。③不承诺、世故：个人在第一期通过最大化第一期目标函数来选择c1，并认识到他将通过最大化第二期目标函数来选择c2。

（b）①根据你在（a）①和（a）②的结果，解释在何种意义上个人的偏好在时间上是不一致的。

②从直观上解释为什么世故不会产生异于幼稚的行为。 答：（a）①在承诺的情况下，个人选择c1、c2和c3来最大化：

U1?lnc1??lnc2??lnc3 （1）

其中0???1，对于实际利率为0和财富为W，个人的消费选择必须满足c1?c2?c3?W。可以解决不受约束的最优化问题。将c3?W?c1?c2代入（1）得到：

U1?lnc1??lnc2??ln?W?c1?c2? （2）

因此个人选择c1、c2来最大化（2），一阶条件为：

?U11????0 （3） ?c1c1W?c1?c2?U1?????0 （4） ?c2c2W?c1?c2由方程（3）可以得出：?c1?W?c1?c2，即：

?1???c1?W?c2

因此有：

c1?1?W?c2? （5） 1??由方程（4）可以得出：

c2?W?c1?c2

简化为：

c2??W?c1?/2 （6）

将（6）代入（5）得：

c1?11W??W?c1?/2????W?c1? ??1??2?1???求解c1：

c1??2?1????1???W

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简化为：

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c1?1W （7） 1?2?方程（7）给出了在承诺的情况下个人第一期消费的最优选择。为求出第二期的消费，将（7）代入（6）：

c2?1?11?W???W?2?W?W? ?W?2?1?2??2?1?2??化简得：

1?2?可以从第一期的目标函数证明c2?c3，将（7）和（8）代入到约束方程式c3?W?c1?c2c2??W （8）

中，得到：

c3?W?1?1?2??1??W?W?W 1?2?1?2?1?2?化简可以得到：

1?2?②在第二期，在上期的选择c1和约束方程c3?W?c1?c2的情况下，个人选择c2。因此

c3??W （9）

个人选择c2以最大化：

U2?lnc2??ln?W?c1?c2? （10）

一阶条件为：

?U21?????1??0 （11） ?c2c2W?c1?c2求解做为W和c1函数的c2：

?c2?W?c1?c2 （12）

简化为：

1?W?c1? （13） 1??这意味着作为W和c1函数的第三期的消费为：

c2?c3?W?c1??1???W??1???c1?W?c1 （14） 1?W?c1??1??1??c3?简化为：

?W?c1? （15）

1??个人就像在承诺的情况下一样在第一期选择c1，这是因为他（错误地）认为他应该与在

承诺的情况下一样的选择c2。因此可以得到：

c1?1W （16） 1?2??将（16）代入（13）可以得到：

1?11?1?2??1??c2?W?W?W? （17） ???1???1?2??1???1?2??化简可以得到：

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c2?2?W （18）

?1????1?2??将（16）代入（15）可以得到第三期的消费：

c3???1??1?2??1??W?W??1???1?2?W? （19） 1???1?2?????2?2c3?W （20）

?1????1?2??简化为：

③在第一期，个人选择c1以实现c2 和c3的选择（是c1的函数），由（13）和（15）给出。将（13）和（15）代入第一期的目标函数，得到：

?1??U1?lnc1??ln???ln??W?c1???W?c1???? （21） ?1????1???第一期消费的最优选择的一阶条件为：

???1?????????U11??????????0 （22） ?c1c1?1??1??1/1??W?c?/1??W?c???????????1???1?????简化为：

12?? （23） c1W?c1求解c1得到：

2?c1?W-c1 （24）

简化为：

1W （25） 1?2?注意到此处的第一期的消费选择与幼稚的情况下相同。因为c2和c3可以与幼稚的情况

c1?下作出相同的选择，他们将是相同的，并且由（18）和（20）给出。

（b）①个人的偏好是时间不一致的，在第一期作出的第二期的最优选择，到了第二期便不再是最优的。即如果个人在第一期没有承诺在第二期的消费，则他到了第二期的消费选择为：

2?c2?W （18）

?1????1?2??不同于他在第一期时对第二期作出的选择：

c2??1?2?W （8）

事实上，因为2/?1????1，他在第二期将选择更高的消费。由第一期的目标函数可以看出，个人对于选择在第二期和第三期消费是无差异的，他们有同样的折现率?。不过，当第二期到时，由第二期的目标函数可以看出，个人偏好于在第二期消费。

②世故不会产生异于幼稚行为的原因在于对数效用的假设。考察一个人相对于预期第一期消费的边际减少。幼稚的人认为他要将增加的储蓄在c2和c3之间配置，在未来两期里边际效用相等。世故的人知道他将增加的储蓄的大部分配置在c2，因而c2会提高，即c2的边际效用会降低。这将使增加的储蓄对于世故的人来讲不如幼稚的人有吸引力。

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不过世故的人知道他将增加的储蓄用于增加c3，他把c2和c3看得同等重要，因此在第三期边际效用较高。这使储蓄的增加对于世故的人来讲比幼稚的人更有吸引力。

对于对数效用函数，这两种效应互相抵消。对于一般的效用函数，世故的人与幼稚的人的消费的相互关系无法确定。

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