罗默《高级宏观经济学》（第3版）课后习题详解（第7章 消 费）

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??Ct+2?Ct?3Ct?Ct?1??Ct?Ct?1Ct?2?Ct?1???e2cov?????，????4 （8） 2222??????其中，?e2表示e的方差。因此消费的变化与它的以前的值相关。因为协方差是正的，这意味着在?t?，t?1?两期之间衡量消费大于在?t?2?，t?1?两期之间，则衡量消费在

?t?2?，t?3?两期之间将倾向于大于在?t?，t?1?两期之间。当一个变量遵循随机游走，变量

的连续变化是无关的。例如，在这个模型中真实的消费有Ct?Ct?1?et和Ct?1?Ct?et?1 。因为

et和et?1是无关的，真实消费的连续变化是无关的。因此如果Ct大于Ct?1，这并不意味着Ct?1将大于Ct。因为衡量消费的连续变化是相关的，衡量消费并不服从随机游走。今天衡量消费的变化提供了关于消费明天将如何变化的信息。

（c）由方程（5），衡量消费从?t?，t?1?到?t?2?，t?3?的变化依赖于et?1，消费在t?1期的变化。t?1期是第一个两期的一部分。因此消费从第一个两期到下一个两期的变化与第一期的任何一期并不是无关。不过，与?t?，t?1?之后的两期间隔无关。由方程式（5）知，et?3、

et?2和et?1都与?t?2?，t?1?无关。

（d）可以将Ct?3写为Ct?1和e的函数：

Ct?3?Ct?2?et?3?Ct?1?et?2?et?3 （9）

因此衡量消费从一个两期到下一个两期的变化为：

Ct?3?Ct?1?Ct?1?et?2?et?3?Ct?1?et?2?et?3 （10）

同理可以得到：

Ct?1?Ct?1?et?et?1 （11）

因此衡量消费的连续变化的协方差为：

cov???Ct?1?Ct?1????et?et?1????et?2?et?3??，? （12） ??Ct?3?Ct?1??，???cov?因为e是无关的，协方差为0。在这个例子中衡量的消费服从随机游走。Ct?1不同于Ct?1的数量并不能提供关于Ct?1和Ct?3差异的任何信息。

7.4 在第7.2节的模型中，有关未来收入的不确定并不会影响消费。这是否意味着不确定性并不会影响预期的终生效用？

答：未来收入的不确定性尽管不会影响消费，但是却会影响预期的终生效用。 由教材中方程（7.10）式可知，预期的终生效用为：

?T?a??E1?U??E1???Ct?Ct2?? （1）

2???t?1?其中，a?0。（1）式可以表示为：

a??E1?U????E1?Ct??E1?Ct2?? （2） ??2?t?1?T由于E1?Ct??C1，所以：

Ct?C1?et （3）

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其中E1?et??0，var?et???et。

2方程（3）式对任何时期都成立，将（3）代入（2）式可得：

a2E1?U????E1?C1?et???E1??C1?et?? （4）

?2?t?1T因为E1?C1??C1，且E1?et??0，从而（4）式变为：

aa?2?? （5） E1?U????C1?C12?E1?et???22?t?1?22?e?vare??又因为E1?，所以（5）式可以表示为： ??tte??tTaa??E1?U????C1?C12??e2t? （6）

22?t?1?T如果在确定性情况下，Ct?C1，则et?0，var?et???e2?0，终生效用为：

tTa??U???C1?C12? （7）

2?t?1?由于C1在是否存在不确定性情况下都是相同的，所以比较（6）、（7）两式可知：在不

确定性情况下，预期的终生效用降低了。

7.5 （本题依据汉森和辛格尔顿1983。）假设瞬时效用函数是不变相对风险厌恶形式u?Ct??Ct1??/?1???，??0，假设利率r不变但不一定等于贴现率?。

（a）求将Ct和Ct?1的期望联系起来的欧拉方程。

（b）假设对数收入是正态分布，且因此Ct?1的对数是正态分布的；令?2表示其基于t时可得信息的条件方差。将（a）部分所得表达式用lnCt、Et?lnCt?1?、?2以及参数r、?和?xuV/2重写（提示：若变量x服从均值为?，方差为V的正态分布，则E?。 ?e???ee）

（c）证明：若r和?2不随时间变化，则（b）的结果表明对数收入服从带漂移的随机游走：lnCt?1?a?lnCt?ut?1，其中?为白噪声。

（d）r和?2的变化对期望的收入增长Et?lnCt?1?lnCt?各有何影响？根据第7.6节中对预防性储蓄的讨论，解释?2对期望的收入增长的影响。

答：（a）设在时刻t消费下降dC，对于相对风险不变的效用函数：

U?Ct??Ct1??/?1??? （1）

在时刻t消费的边际效用为Ct??，这种变化的效用成本为：

Ct??dC （2）

在时刻t?1消费的边际效用为Ct???1，实际利率为r，个人在t?1期的消费增加?1?r?dC。985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解

贴现的预期效用收益为：

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1?? （3） Et?Ct??1?1?r?dC??1??如果个人是行为最优的，这种形式的边际变化不影响预期效用。这意味着预期效用收益

必须等于效用成本：

Ct???1?r?? （4） Et?Ct??1??1??方程（4）为欧拉方程。

（b）对于任何变量x，elnx?x，有：

??InCt?1?????Et?C?Eet?1t???? （5）

xuV/2如果x?N???，V?，则E??e???ee，因为消费的对数是正态分布的，有：

?????EtlnCt?1e??Et??Ct?1???Et?e22/2??e??EtlnCt?1e???22/2 （6）

在第一步中用了消费对数的方差是?2，除此以外，在时刻t?1消费的对数均值在t期信息的条件下，是EtlnCt?1。最后，e??ElnCe??tt?122/2是常数。

将（6）代入（2）然后在两边取对数得：

??lnCt?ln?1?r??ln?1?????EtlnCt?1??2?2/2 （7）

在（7）式两边除以????得到：

lnCt?EtlnCt?1?ln?1????ln?1?r?/????2/2 （8）

（c）在（8）中求EtlnCt?1得到：

EtlnCt?1?lnCt?ln?1?r??ln?1?r?/q?qs2/2 （9）

方程（9）意味着从一期到下一期消费的预期变化为常数：ln?1?r??ln?1???/????2/2。消费的变化量是不可预测的。根据预期的定义有：

EtlnCt?1?lnCt?ln?1?r??ln?1???/????2/2?ut?1 （10）

其中?有零均值，是序列无关的。消费的对数函数遵循随机游走，并且带有漂移项：

2??ln?1?r??ln?1?????/????/2

（d）由方程（9），预期消费增长率为：

Et?lnCt?1?lnCt??ln?1?r??ln?1???/????2/2 （11）

明显，r提高可以提高预期消费增长率：

?Et?lnCt?1?lnCt???2?1?0 （12）

??1?r?985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解

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。 ?越小，消费的替代弹性1/?越大，消费增长率越高（由于实际利率的提高）

?2的上升也会增加消费增长率：

?Et?lnCt?1?lnCt???2??2?0 （13）

可以证明相对风险厌恶不变的效用函数的三阶导数为正，由u??Ct??Ct??和u???Ct????Ct?1??可以推出：

u'''?Ct????????1?Ct???2???2???Ct???2?0 （14）

因此一个具有相对风险厌恶不变的效用函数的个人会有预防性储蓄行为。不确定性的提高（即消费的对数的方差?2的上升）增加了储蓄和预期消费增长率。

7.6 考察过度平滑性的一个分析框架。假设Ct等于

??r/?1?r???At??s?0Et?Yt?s?/?1?r?且At?1??1?r??At?Yt?Ct?

?xs?（a）证明该假设意味着Et?Ct?1??Ct（因而消费服从随机游走），以及

?E?Ct?s?/?1?r??At??s?0Et?Yt?s?/?1?r? s?0txsxs（b）假设?Yt???Yt?1?ut，其中u为白噪声。假设Y比Et?1?Yt?大1单位（即假设ut?1）。那么消费将增加多少？

（c）在??0的情形下，收入的创新ut与消费的创新Ct?Et?1?Ct?相比，哪一个的方差更大？在该模型中，消费者是使用储蓄和借款来平滑消费相对于收入的路径吗？请解释。 答：（a）将t期的消费表达式

Ct?xEY?r?t?t?s?A??t?? （1） s1?r?s?0?1?r????代入t?1期的财富表达式：

At?1??1?r??At?Yt?Ct? （2）

得到：

At?1???EtYt?1EtYt?2rr??Yt???1?r??At?Yt?At???...?? （3） 2???1?r1?r1?r??1?r?????整理得：

At?1?EY?EtYt?2tt?1?At?Yt?r???...? （4）

?1?r?1?r?2???因为（1）式在各期都成立，将t?1期的消费写为：

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