2020届高考理科数学全优二轮复习训练：小题专项训练6

小题专项训练6 解三角形

一、选择题

1．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b,2asin B＝b，则A等于( ) πA．

3πC．

6【答案】C

1

【解析】由2asin B＝b及正弦定理，得2sin Asin B＝sin B，故sin A＝.又△ABC为锐角

2π

三角形，则A＝.

6

2．(2019年四川模拟)△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为( )

πA．

6π5πC．或

66【答案】C

a2＋c2－b21cos B

【解析】由余弦定理cos B＝结合已知可得cos B＝，则cos B＝.由

2ac2tan B2sin Bπ1π5π

tan B有意义，可知B≠，则cos B≠0，所以sin B＝，则B＝或.故选C．

2266

3．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )

π

B．

3π2πD．或

33π

B．

4πD．

12

A．502 m C．252 m 【答案】A

AC·sin∠ACB50 sin 45°ABAC

【解析】由正弦定理得＝，所以AB＝＝＝502(m)．

sin Bsin 30°sin∠ACBsin B4．(2019年吉林四平模拟)在△ABC中，D为AC边上一点，若BD＝3，CD＝4，AD＝5，AB＝7，则BC＝( )

A．22 C．37

B．23 D．13 B．503 m 252D． m

2

【答案】D

32＋52－72

【解析】如图，∠ADB＋∠CDB＝180°，则cos ∠ADB＝－cos ∠CDB，即

2×3×532＋42－BC2

＝－，解得BC＝13.故选D．

2×3×4

1

5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝2a，bsin B－asin A＝asin

2C，则sin B为( )

A．C．

7 4

7

3

3

B．

41D． 3

【答案】A

11

【解析】由bsin B－asin A＝asin C，可得b2－a2＝ac，又c＝2a，得b＝2a.∵cos B＝

22a2＋c2－b2a2＋4a2－2a23

＝＝，∴sin B＝2ac4a24

3?27

1－?＝?4?4.

6．(2018年江西南昌模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos 2A＝sin A，bc＝2，则△ABC的面积为( )

1

A．

4C．1 【答案】B

1

【解析】由cos 2A＝sin A，得1－2sin2A＝sin A，解得sin A＝(负值舍去)．又bc＝2，得

211

S△ABC＝bcsin A＝. 22

7．若△ABC的三个内角满足πA．

62πC．

3【答案】B

sin B－sin Ab－acc

【解析】由＝及结合正弦定理，得＝，整理得b2＋c2－a2＝bc，

sin B－sin Ca＋bb－ca＋bb2＋c2－a21π

所以cos A＝＝.由A为三角形的内角，知A＝.

2bc23

sin B－sin Ac

＝，则A＝( )

sin B－sin Ca＋b

π

B．

3π2πD．或

331

B．

2D．2

8．(2018年河南开封一模)已知锐角三角形ABC，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2A

b＝a(a＋c)，则的取值范围是( )

sin?B－A?

2

A．(0,1) 12C．?，?

?22?【答案】C

B．?0，

?

2? 2?

1?D．??2，1?

【解析】由b2＝a(a＋c)及余弦定理，得c－a＝2acos B．由正弦定理，得sin C－sin A＝2sin Acos B．∵A＋B＋C＝π，∴sin(A＋B)－sin A＝2sin Acos B，∴sin(B－A)＝sin A．∵△ABC是ππsin2A12

锐角三角形，∴B－A＝A，即B＝2A.∴＜A＜，则＝sin A∈?，?.

64sin?B－A??22?9．△ABC中，三边长a，b，c满足a3＋b3＝c3，那么△ABC的形状为( ) A．锐角三角形 C．钝角三角形 【答案】A

【解析】由题意可知c边最大，即c>a，c>b，则a2c＋b2c>a3＋b3＝c3，则a2＋b2－c2>0.π

由余弦定理得cos C>0，∴0

2

tan Atan B

10．设a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的边，若＝1 009tan C，且

tan A＋tan Ba2＋b2＝mc2，则m＝( )

A．1 008 C．2 018 【答案】D

tan Atan B1111cos Acos B1

【解析】由＝1 009tan C，得＋＝×，即＋＝

tan Atan B1 009tan Csin Asin B1 009tan A＋tan Ba2＋b2－c2a2＋b2－c2cos Csin2Ccos Cc21

×，＝.根据正、余弦定理，得＝×，即＝2 018，sin Csin Asin B1 009ab1 0092abc2a2＋b2

则2＝2 019，所以m＝2 019.

c

11．(2019年贵州模拟)在锐角三角形ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边，且3b＝2asin B，a＝4，则△ABC面积的最大值为( )

A．23 C．83 【答案】B

【解析】由3b＝2asin B结合正弦定理得3sin B＝2sin Asin B，由锐角三角形知sin B≠0，所以sin A＝

31

，则cos A＝.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，即16＝b2＋c2－bc，所以22

B．43 D．163 B．1 009 D．2 019 B．直角三角形 D．以上均有可能

113

16≥2bc－bc＝bc，当b＝c时等号成立．所以S＝bcsin A≤×16×＝43，即△ABC面积

222的最大值为43.故选B．

12．(2018年辽宁沈阳五校联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已1

知sin A－sin B＝sin C，3b＝2a,2≤a2＋ac≤18.设△ABC的面积为S，p＝2a－S，则p的最

3大值是( )

52A．

992 C．

8【答案】C

1

【解析】在△ABC中，由sin A－sin B＝sin C及正弦定理，得c＝3a－3b.再根据3b＝2a，

32≤a2＋ac≤18，得

a＝c,1≤a≤3.由余弦定理，得

b2＝4a2227＝a＋a－2a·acos B，解得cos B＝， 9972

B．

9112D．

8

421222

∴sin B＝，则S＝acsin B＝a.

929∴p＝2a－S＝2a－二、填空题

13．△ABC的三内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，若a＝＝________.

【答案】

5 4

55sin A5sin 2Bb及正弦定理，得sin A＝sin B，即＝.又A＝2B，所以＝22sin B2sin B

5

b，A＝2B，则cos B2

222992a.根据二次函数的图象可知，当a＝时，p取得最大值. 948

【解析】由a＝55

，得cos B＝. 24

BD

14．已知△ABC中，AC＝4，BC＝27，∠BAC＝60°，AD⊥BC于D，则的值为________．

CD【答案】6

【解析】在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos∠BAC，即28＝1628＋36－16212＋AB2－4AB，解得AB＝6，则cos∠ABC＝＝.所以BD＝AB·cos∠ABC＝，CD

2×27×677＝BC－BD＝2BD

，则＝6.

CD715．在距离塔底分别为80 m,160 m,240 m 的同一水平面上的A，B，C处，依次测得塔顶的仰角分别为α，β，γ.若α＋β＋γ＝90°，则塔高为________m.

【答案】80