第十四届中环杯五年级决赛与详解

1a 3HIMH??1?HI?ID 由沙漏，

IDDF1111111m 所以 SHIF?SHDF??SHDC???SGECD?22323212所以MH=GH-GM=

因为EN∥CF，所以所以NH=EH-EN=

ENBE11???EN?a CFBC231a 6HJHN11???HJ??JC 由沙漏，

JCCF441121211m所以SHJF?SHCF??SHDC???SGECD?55353215113m?m?m 所以n?121520

因为m,n均为正整数，所以m为20的倍数，即m含有质因子2、5，又m有9个约

数，所以m=22×52=100

所以正方形ABEG的边长为10厘米。

二、动手动脑题（每小题10分，共50分，除第15题外请给出详细解题步骤）

11. 两人同时从AB两地出发，相向而行，甲每小时行12.5千米，乙每小时行10千米，甲行30分钟，到达恒生银行门口，想起来自己的信用卡没有带，所以他原速返回A地去拿卡，找到卡后，甲又用元素返往B地，结果当乙达到A地时，甲还需要15分钟到达B地，那么A、B间的距离是多少厘米？

【分析】甲花了半小时到达恒生银行门口，又原速返回，所以回到A地时，又用了半个小 时，再加上找卡的半小时，当甲再次出发时，乙已经走了1.5小时 假设乙从B地到A地共用时t+1.5小时 则甲从A地到B地需用t 小时加15分钟，即t+可列得方程：

1小时 410（t+ 1.5）=12.5×（t+解得t=

1） 419 4191+）=62.5千米。 44所以A、B间的距离为12.5×（

12. 如果一个数的奇约数个数有2m个（m为自然数），则我们称这样的数为“中环数”，比如3的奇约数有1,3，一共2=21，所以3是一个“中环数”。再比如21的奇约数有1,3,7,21,4=22，所以21 也是一个中环数。我们希望能找到n个连续的中环数。求n的最大值。

【分析】将一个数分解质因数，得到N?p11?p22???pnn，则这个数约数的个数为

aaa?a1?1???a2?1?????an?1?

而事实上，一个数的奇约数个数也可以用类似的求法

由于乘法中遇偶得偶，所以将一个奇数分解质因数，那么得到的质因子均为奇数 所以将一个数分解质因数，得到N?211?p22???pnn（a1可以为0） 则N的奇约数个数为?a2?1???a3?1?????an?1? 现在我们要写出连续的n 个数，

使得每个数均有?a2?1???a3?1?????an?1?=2m首先证明n?17

22观察如下三个数：3?k，3??k?1?，3??k?2?

2aaa

易知，k ，k+1，k+2中有且仅有1个是3的倍数

22所以3?k，3??k?1?，3??k?2?这三个数中，有两个数分解质因数的形式为：

2a0an（a0可以为0） N?21?32?p1a1???pn形如这样的数，奇约数个数为3??a1?1?????an?1?不可能是2的幂，即不符合要求

22因此3?k，3??k?1?，3??k?2?这三个数中至少有2个不符合要求

2即连续3个9的倍数中，至少有2个数不是“中环数”

若n?18，易知，其中必有2个9的倍数，其中必有1个不是中环数 因此，n?17

而127、128、129、130、131、132、133、134、135、136、137、138、139、140、141、142、143这17个数的奇约数个数分别有：2、1、4、4、2、4、4、2、8、2、2、4、2、4、4、2、4，均为“中环数” 因此n 的最大值为17

13. 下左图是一个奇怪的黑箱子，这个额黑箱子有一个输入口，一个输出口，我们在输入口

输入一个数字，那么在输出口就会产生一个数字结果，其遵循的规则是： （1） 如果输入的是奇数k输出的是，4k+1 （2） 如果输入的是偶数k,输出的是，k÷2 比如输入的是数字8，那么输出的就是8÷2=2, 输入的是数字3，那么输出的就是3x4+1=13. 现在将3个这样的黑箱子串联起来，如下右图，这样第一个黑箱子的输出成为第二个黑箱子的输入，依次类推，比如输入的数字16，经过第一个黑箱子，得到的结果是8，这个8就作为第二个黑箱子的输入，经过第二个黑箱子，得到结果4，这个4就作为第三个黑箱子的输入，经过第三个黑箱子，得到结果2，这个2结果就是最后的输出了。我们可以用16→8→4→2来表示这样的过程。

现在，美羊羊，喜羊羊，懒羊羊，羊爸爸在这个串联的黑箱子输入串输入不同的正整数，其中羊爸爸输入的数字最大，得到的4个最终输出结果竟然是相同的，当这个输出结果最小时，求：羊爸爸的输入值是多少？

【分析】不妨设输入的四个数字为a＜b＜c＜d 由于最后输出的结果相同，不妨设这个结果为m 若m 是一个偶数

因为4k+1是奇数，奇≠偶，所以最后输入的结果也一定是个偶数，为2m 依次类推，四个人输入的数就都为8m，与输入的正整数均不同矛盾 所以m 是一个奇数

那么前一步有2种选择：2m，

m?1 4若前一步为2m ，则由2m 是一个偶数，可知这串过程一定为： 8m→4m→2m→m

m?1的奇偶性 4m?1同理，若为偶数，则这串过程只能为

4m?1m?1m-1→→→m

24接下来考察

这样就只有2种输入值，与输入的正整数均不同矛盾 所以

m?1也为奇数 4m?1

?1m?5m?1那么前一步有2种选择：，4=

2164

m?5接下来考察的奇偶性

16m?5同理，为奇数

16因此，四串过程分别为： 8m→4m→2m→m

m-1→

m?1m?1→→m 24m?5m?5m?1→→→m 8164m?21m?5m?1→→→m 64164m?21为奇数 64由于这些数均为正整数，所以64丨m-21，且要使m 最小，则

m?21?1?m?85 64此时，输入的四个数字分别为：680、84、10、1 因此，羊爸爸输入的值为680

14. 如图，如果我们将很多边长为1的正方形放入等腰△ABC中，BC边上的高为AH，AB和BC的长度都是正整数，要求所有小正方形都有两条边与BC平行（如图所示），先放最下面一层，从两边往中间放（最靠边的小正方形的一个顶点正好在三角形的边上），直到中间的空隙放不下一个小正方形为止，然后放倒数第二层，同样从两边往中间放，直到中间的空隙放不下一个小正方形为止，依次类推，不断地往上面叠放小正方形，点到无法往上叠为止，我们发现，每层的中间都没产生空隙，而且个小正方形，求BC长度的最大值。

BC?8，最后整个△ABC内一共放了330AH

【分析】不妨设BC的长度为a，设则

BC= 2k ( k?4) AHBH=k AHBEBH??k?BE?k DEAH如下图，由于DE∥AH，所以

则最下面小正方形能使用的长度为a-2k ，最下面一层小正方形的个数为[a-2k]

这意味着第二层下底总长度为a-2k ，同理可得第二层小正方形能使用的长度为a-4k ，小正方形的个数为[a-4k]

依次类推，以后每层小正方形的个数依次为[a-6k]，[a-8k]，?