等差数列知识点及类型题

a16?a17?a18?3a17??36,?a17??12,?d?，令?a17?a9?3,?an?a9?(n?9)gd?3n?63,an?1?3n?6017?9?an?3n?63?0,得:20?n?21,

?an?1?3n?60?020?[?60?(?3)]?S20?S21???630，∴当n=20或21时，Sn最小且最小值为-630.

2

（2）由（1）知前20项小于零，第21项等于0，以后各项均为正数。

n(?60?3n?63)3123??n2?n.

222n(?60?3n?63)3123当n?21时，Tn?Sn?2S21??2S21?n2?n?1260.222?32123 ?n?n(n?21)??22综上，Tn??.?3n2?123n?1260(n?21)??22〖例5〗已知数列{an}是等差数列。

∴当n?21时，Tn??Sn??（1）若am?n,an?m(m?n),求am?n; （2）若Sm?n,Sn?m(m?n),求Sm?n. 解答：设首项为a1，公差为d， （1）由am?n,an?m，d?∴am?nn?m??1 m?n?am?(m?n?m)d?n?n?(?1)?0.

n(n?1)?n2?m2?mn?m?n?m?na1?da1?????2mn,解得?. （2）由已知可得?m(m?1)?n?ma??d??2(m?n)d1???2mn?(m?n)(m?n?1)?Sm?n?(m?n)a1?d??(m?n)

2【变式】已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N*，满足关系式2Sn＝3an－3.

(1)求数列{an}的通项公式；

1

(2)设数列{bn}的通项公式是bn＝，前n项和为Tn，求证：对于任意的正整数n，总有Tn<1.

log3an·log3an＋1

(1)解 ①当n＝1时，由2Sn＝3an－3得，2a1＝3a1－3， ∴a1＝3.

②当n≥2时，由2Sn＝3an－3得， 2Sn－1＝3an－1－3.

两式相减得：2(Sn－Sn－1)＝3an－3an－1，即2an＝3an－3an－1， ∴an＝3an－1，又∵a1＝3≠0，∴{an}是等比数列，∴an＝3n. 验证：当n＝1时，a1＝3也适合an＝3n. ∴{an}的通项公式为an＝3n.

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(2)证明 ∵bn＝＝ log3an·log3an＋1log33n·log33n＋1

111＝＝－， (n＋1)nnn＋1

9

∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn

11111＝(1－)＋(－)＋…＋(－)

223nn＋11＝1－<1.

n＋1

跟踪训练

1. 已知等差数列首项为2，末项为62，公差为4，则这个数列共有 （ ） A．13项 B．14项 C．15项 D．16项

2. 已知等差数列的通项公式为an=-3n+a，a为常数，则公差d= （ ）

3. 在等差数列{an } 中，若a1+a2=-18，a5+a6=-2，则30是这个数列的（ ） A．第22项 B．第21项 C．第20项 D．第19项

4. 已知数列a，-15，b，c，45是等差数列，则a+b+c的值是 （ ） A．-5 B．0 C．5 D．10

5. 已知等差数列{an }中，a1+a2+a3=-15，a3+a4=-16，则a1= （ ） A．-1 B．-3 C．-5 D．-7

6. 已知等差数列{an }满足a2+a7=2a3+a4，那么这个数列的首项是 （ ）

7. 已知数列{an }是等差数列，且a3+a11=40，则a6+a7+a8等于 （ ） A．84 B． 72 C．60 D．43

8. 已知等差数列{an }中，a1+a3+a5=3，则a2+a4= （ ）

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A．3 B．2 C．1 D．-1

9.已知数列?an?：3，7，11，15，19……，则191在此数列?an?中应是（ ） A．第21项 B．第41项 C．第48项 D．第49项

110. 已知数列{an}中，a1?3，前n和Sn?(n?1)(an?1)?1

2（1）求证：数列{an}是等差数列 （2）求数列{an}的通项公式

?1?（3）设数列??的前n项和为Tn，是否存在实数M，使得Tn?M对一切正整数n都成立？若存在，

?anan?1?求M的最小值，若不存在，试说明理由。

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