等差数列知识点及类型题

7. 已知数列{an }是等差数列，且a3+a11=40，则a6+a7+a8等于 （ ） A．84 B． 72 C．60 D．43

8. 已知等差数列{an }中，a1+a3+a5=3，则a2+a4= （ ） A．3 B．2 C．1 D．-1

9.已知数列?an?：3，7，11，15，19……，则191在此数列?an?中应是（ ） A．第21项 B．第41项 C．第48项 D．第49项

110. 已知数列{an}中，a1?3，前n和Sn?(n?1)(an?1)?1

2（1）求证：数列{an}是等差数列 （2）求数列{an}的通项公式

?1?（3）设数列??的前n项和为Tn，是否存在实数M，使得Tn?M对一切正整数n都成立？若存在，

?anan?1?求M的最小值，若不存在，试说明理由。

等差数列知识点及类型题

一、数列

由an与Sn的关系求an

由Sn求an时，要分n=1和n≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，

若不能，则用分段函数的形式表示为an??(n?1)?S1。

?Sn?Sn?1(n?2)〖例1〗根据下列条件，确定数列?an?的通项公式。

an?2an?0,?2Sn2

分析：

将无理问题有理化，而后利用an与Sn的关系求解。

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解答：

二、等差数列及其前n项和

（一）等差数列的判定

1、等差数列的判定通常有两种方法：

第一种是利用定义，an?an?1?d(常数)(n?2)，第二种是利用等差中项，即2an?an?1?an?1(n?2)。 2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断。

（1）通项法：若数列{an}的通项公式为n的一次函数，即an=An+B,则{an}是等差数列；

2（2）前n项和法：若数列{an}的前n项和Sn是Sn?An?Bn的形式（A，B是常数），则{an}是等差数

列。

注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。

〖例2〗已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn?Sn?1?2SngSn?1?0(n?2),a1?（1）求证：{

1 21}是等差数列； Sn11与的关系?结论； SnSn?1（2）求an的表达式。

分析：（1）Sn?Sn?1?2SngSn?1?0?（2）由

1的关系式?Sn的关系式?an Sn1111111解答：（1）等式两边同除以SngSn?1得-+2=0，即-=2（n≥2）.∴{}是以==2为

Sn?1SnSnSn?1SnS1a1首项，以2为公差的等差数列。

（2）由（1）知

1111=+（n-1）d=2+(n-1)×2=2n,∴Sn=,当n≥2时，an=2Sn·Sn?1=。又SnS12n(n?1)2n?1?1?2∵a1?，不适合上式，故an??12???2n(n?1)∵a1＝1，∴2a1＝2pa21＋a1－p， 即2＝2p＋1－p，得p＝1.

(n?1)。

(n?2)【变式】已知数列{an}的各项均为正数，a1＝1.其前n项和Sn满足2Sn＝2pa2n＋an－p(p∈R)，则{an}的通项公式为________．

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于是2Sn＝2a2n＋an－1.

22当n≥2时，有2Sn－1＝2a2n－1＋an－1－1，两式相减，得2an＝2an－2an－1＋an－an－1，

1

整理，得2(an＋an－1)·(an－an－1－)＝0.

2

11n＋1

又∵an>0，∴an－an－1＝，于是{an}是等差数列，故an＝1＋(n－1)·＝.

222

（二）等差数列的基本运算

1、等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d及前n项和公式Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d，共涉及五个22量a1，an，d,n, Sn,“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；

2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。

SndSdd?n?a1??a1?(n?1)，故数列{n}是等差数列。 n222nn?〖例3〗已知数列{xn}的首项x1=3，通项xn?2p?nq(n?N,p,q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列。

注：因为

求：

（1）p,q的值；

（2）数列{xn}的前n项和Sn的公式。

分析：（1）由x1=3与x1，x4，x5成等差数列列出方程组即可求出p,q；（2）通过xn利用条件分成两个可求和的数列分别求和。

解答：（1）由x1=3得2p?q?3……………………………………①

5545又x4?2p?4q,x5?2p?5q,且x1?x5?2x4，得3?2p?5q?2p?8q…………………②

由①②联立得p?1,q?1。

n?n（2）由（1）得xn?2，

（三）等差数列的性质

1、等差数列的单调性：

等差数列公差为d，若d>0,则数列递增；若d<0,则数列递减；若d=0,则数列为常数列。 ★2、等差数列的简单性质：

已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和。

（1）若m+n=p+q,则am?an?ap?aq,特别：若m+n=2p，则am?an?2ap。 （2）am,am?k,am?2k,am?3k,L仍是等差数列，公差为kd; （3）数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,L也是等差数列； (4)若等差数列的项数为2nn?N???S奇an?，则S偶?S奇?nd，； S偶an?1（5）若等差数列的项数为2n?1n?N?，则S2n?1????2n?1?an，且S奇?S偶?an，S奇?S偶n n?1（6）如果数列?an?,?bn?是等差数列，则数列?c?an?,?c?an?,?an?bn?,?p?an?q?bn?也是等差数列。 （其中c、p、q均为常数）。

典型例题

1．等差数列?an?中, 若Sn?25,S2n?100，则S3n?＝_____225___；

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2.（厦门）在等差数列?an?中， a2?a8?4,则 其前9项的和S9等于 （ A ） A．18 B 27 C 36 D 9

3、（全国卷Ⅰ理） 设等差数列?an?的前n项和为Sn，若S9?72,则a2?a4?a9= 24 4、等差数列{an} 的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为( C ) (A)130 (B)170 (C)210 (D)160 5.(湖北卷)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且

An7n?45a?，则使得n为整数的Bnn?3bn正整数n的个数是（ D ）

A．2 B．3 C．4 D．5

1

6、已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|的值等于________．

4 如图所示，易知抛物线y＝x2－2x＋m与y＝x2－2x＋n有相同的对称轴x＝1，它们与x轴的四个交点依次为A、B、C、D.

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因为xA＝，则xD＝.

44

35

又|AB|＝|BC|＝|CD|，所以xB＝，xC＝.

44

17351

故|m－n|＝|×－×|＝.

44442

7、在等差数列{an}中，a1＝－3,11a5＝5a8－13，则数列{an}的前n项和Sn的最小值为________．

设公差为d，则11(－3＋4d)＝5(－3＋7d)－13，

5∴d＝.

9∴数列{an}为递增数列．

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令an≤0，∴－3＋(n－1)·≤0，∴n≤，

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∵n∈N*.

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∴前6项均为负值，∴Sn的最小值为S6＝－.

3

8.若两个等差数列?an?和?bn?的前n项和分别为Sn和Tn，且满足

★等差数列的最值：

若{an}是等差数列，求前n项和的最值时， （1）若a1>0,d<0,且满足?Sn7n?3，则a8? 6 . ?Tnn?3b8?an?0，前n项和Sn最大；

?an?1?0（2）若a1<0,d>0，且满足??an?0，前n项和Sn最小；

?an?1?0?（3）除上面方法外，还可将{an}的前n项和的最值问题看作Sn关于n的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意n?N。

〖例4〗在等差数列{an}中，a16?a17?a18?a9??36，其前n项和为Sn。

（1）求Sn的最小值，并求出Sn取最小值时n的值； （2）求Tn?a1?a2?Lan。

分析：（1）可由已知条件，求出a1,d,利用??an?0求解，亦可用Sn利用二次函数求最值；

?an?1?0（2）将前面是负值的项转化为正值求解即可。

解答：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，∵

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