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等差数列知识点及类型题
一、数列
由an与Sn的关系求an
由Sn求an时，要分n=1和n≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，
若不能，则用分段函数的形式表示为an??〖例1〗
(n?1)?S1。
S?S(n?2)n?1?n根据下列条件，确定数列?an?的通项公式。
an?2an?0,?2Sn2分析：
将无理问题有理化，而后利用an与Sn的关系求解。
二、等差数列及其前n项和
（一）等差数列的判定
1、等差数列的判定通常有两种方法：
第一种是利用定义，an?an?1?d(常数)(n?2)，第二种是利用等差中项，即2an?an?1?an?1(n?2)。 2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断。
（1）通项法：若数列{an}的通项公式为n的一次函数，即an=An+B,则{an}是等差数列；
2（2）前n项和法：若数列{an}的前n项和Sn是Sn?An?Bn的形式（A，B是常数），则{an}是等差数
列。
注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。
〖例2〗已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn?Sn?1?2SngSn?1?0(n?2),a1?（1）求证：{
1 21}是等差数列； Sn（2）求an的表达式。
1
2＋a－p(p∈R)， 【变式】已知数列{an}的各项均为正数，a1＝1.其前n项和Sn满足2Sn＝2pann
则{an}的通项公式为________．
（二）等差数列的基本运算
1、等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d及前n项和公式Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d，共涉及五个22量a1，an，d,n, Sn,“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；
2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。
SndSdd?n?a1??a1?(n?1)，故数列{n}是等差数列。 n222nn?〖例3〗已知数列{xn}的首项x1=3，通项xn?2p?nq(n?N,p,q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列。
注：因为
求：
（1）p,q的值；
（2）数列{xn}的前n项和Sn的公式。
分析：（1）由x1=3与x1，x4，x5成等差数列列出方程组即可求出p,q；（2）通过xn利用条件分成两个可求和的数列分别求和。
（三）等差数列的性质
1、等差数列的单调性：
等差数列公差为d，若d>0,则数列递增；若d<0,则数列递减；若d=0,则数列为常数列。 ★2、等差数列的简单性质：
已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和。
（1）若m+n=p+q,则am?an?ap?aq,特别：若m+n=2p，则am?an?2ap。 （2）am,am?k,am?2k,am?3k,L仍是等差数列，公差为kd; （3）数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,L也是等差数列； (4)若等差数列的项数为2nn?N???S奇an?S?S?nd，，则偶奇； S偶an?1（5）若等差数列的项数为2n?1n?N?，则S2n?1????2n?1?an，且S奇?S偶?an，S奇?S偶n n?1（6）如果数列?an?,?bn?是等差数列，则数列?c?an?,?c?an?,?an?bn?,?p?an?q?bn?也是等差数列。 （其中c、p、q均为常数）。
典型例题
1．等差数列?an?中, 若Sn?25,S2n?100，则S3n?＝________；
2.（厦门）在等差数列?an?中， a2?a8?4,则 其前9项的和S9等于 （ ） A．18 B 27 C 36 D 9
3、（全国卷Ⅰ理） 设等差数列?an?的前n项和为Sn，若S9?72,则a2?a4?a9=
2
4、等差数列{an} 的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为( ) (A)130 (B)170 (C)210 (D)160 5.(湖北卷)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且
An7n?45a?，则使得n为整数的Bnn?3bn正整数n的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
1
6、已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|的值等于________．
4
7、在等差数列{an}中，a1＝－3,11a5＝5a8－13，则数列{an}的前n项和Sn的最小值为________．
S7n?38.若两个等差数列?an?和?bn?的前n项和分别为Sn和Tn，且满足n?，则a8? .
Tnn?3b8★等差数列的最值：
若{an}是等差数列，求前n项和的最值时， （1）若a1>0,d<0,且满足??an?0，前n项和Sn最大；
?an?1?0?an?0（2）若a1<0,d>0，且满足?，前n项和Sn最小；
a?0?n?1（3）除上面方法外，还可将{an}的前n项和的最值问题看作Sn关于n的二次函数最值问题，利用二次函
数的图象或配方法求解，注意n?N?。
〖例4〗在等差数列{an}中，a16?a17?a18?a9??36，其前n项和为Sn。
（1）求Sn的最小值，并求出Sn取最小值时n的值； （2）求Tn?a1?a2?Lan。
分析：（1）可由已知条件，求出a1,d,利用??an?0求解，亦可用Sn利用二次函数求最值；
?an?1?0（2）将前面是负值的项转化为正值求解即可。
〖例5〗已知数列{an}是等差数列。
（1）若am?n,an?m(m?n),求am?n; （2）若Sm?n,Sn?m(m?n),求Sm?n.
3
【变式】已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N*，满足关系式2Sn＝3an－3.
(1)求数列{an}的通项公式；
1
(2)设数列{bn}的通项公式是bn＝，前n项和为Tn，求证：对于任意的正整数n，总有Tn<1.
log3an·log3an＋1
跟踪训练
1. 已知等差数列首项为2，末项为62，公差为4，则这个数列共有 （ ） A．13项 B．14项 C．15项 D．16项
2. 已知等差数列的通项公式为an=-3n+a，a为常数，则公差d= （ ）
3. 在等差数列{an } 中，若a1+a2=-18，a5+a6=-2，则30是这个数列的（ ） A．第22项 B．第21项 C．第20项 D．第19项
4. 已知数列a，-15，b，c，45是等差数列，则a+b+c的值是 （ ） A．-5 B．0 C．5 D．10
5. 已知等差数列{an }中，a1+a2+a3=-15，a3+a4=-16，则a1= （ ） A．-1 B．-3 C．-5 D．-7
6. 已知等差数列{an }满足a2+a7=2a3+a4，那么这个数列的首项是 （ ）
4
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