概率论与数量统计作业本- 全

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第9次作业

一、填空题

1. 已知随机变量X的分布列：

X p -2 0.12 -1 0.15 0 0.20 1 0.13 2 0.20 3 0.12 4 0.08

则X的函数Y?3?2X的分布列为_________________________________________； Y p 7 0.12 5 0.15 3 0.20 1 0.13 -1 0.20 -3 0.12 -5 0.08 Z?2?X2的分布列为_______________________；

Z p 2 0.20 3 0.28 6 0.32 11 0.12 18 0.08

2. 设X~U?0,2?，求Y?X在?0,4?内的概率密度fY?y??_____214y______。

二、选择题

1. 设随机变量X~N?1,4?，Y?2X?1，则Y所服从的分布为（ C ） A．N?3,4? B．N?3,8? C．N?3,16? D．N?3,17?

2. 已知随机变量X服从正态分布N?3,4?，则X的函数Y?lnX的概率密度fY?y??（ C ） A.fY?y??1e22?1e22?2lny?3???8lny； B.fY?y??1e22?2y?3????y8；

C.fY?y???e?3??y28?y； D.fY?y??1e22??e?3??y28。

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三、计算题

1. 随机变量X的概率分布见下表，求⑴?X?1的概率分布；⑵X?X的概率分布。

22X p ⑴

-2 0.1 -1 0.15 0 0.25 1 0.2 2 0.2 3 0.1 ?X2?1 -8 0.1 0 0.45 2-3 0.3 2 0.35 0 0.35 6 0.2 1 0.25 p ⑵

X2?X p 2. 设X~N?0,1?，求Y?X的概率密度函数。 解：设Y的分布函数为FY(y)，概率密度是fY(y)，

FX(x)是X的分布函数，则FX(x)连续可导。

当y?0时，FY(y)?P{Y?y}?P{X2?y}?0，故fY(y)=FY?(y)?0； 当y?0时，FY?y}?P{X2?y}?P{?y?X?Y(y)?P{ ?y}

?y?y1e2??x22dx?2?y01e2??x22dx

y?1 fY(y)=FY?(y)?e2,y?0

2?yy??1e2,?2综上：Y?X的概率密度函数：fY?y???2?y?0,?y?0y?0,

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第10次作业 单元自测题

1. 袋中有四个标号分别为1，2，3，4的相同小球，从中接连抽取两次，每次抽一球，求下列情况下抽出的两球号码之和X的分布列：⑴第一次抽出后不放回；⑵第一次抽出后放回。

111111????，P{X?4}?，

64343611111 P{X?5}???，P{X?6}?，P{X?7}?

66366故X的分布列为：

解（1）第一次抽出后不放回：P{X?3}? X 3 4 5 6 7

11111

P66366

（2）第一次抽出后放回：

P{X?2}?11313,P{X?5}?,P{X?6}? ，P{X?3}?,P{X?4}?1681641611P{X?7}?,P{X?8}?

816

X 2 3 4 5 6 7 8 P 1131311 168164168162. 设随机变量X服从二项分布B?n,p?，且已知P?X?1??P?X?2?，

P?X?2??2P?X?3?，求P?X?4?。

kk解：P{X?k}?Cnp(1?p)n?k,k?0,1,,n

?n(n?1)2p(1?p)n?2， 2由P?X?1??P?X?2?知：np(1?p)n?1 (n?1)p?2； （1）

由P?X?2??2P?X?3?知：n(n?1)p2(1?p)n?2?2n(n?1)(n?2)p3(1?p)n?3，

23*2 (2n?1)p?3 （2） 解得：n?5,p?1. 323. 设随机变量?服从以2为参数的指数分布，求方程x??x?4?0有实根的概率。

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?2e?2?,??0解：?~E(2)，f(?)??。方程x2??x?4?0有实根，即???2?16?0，

??0?0, ??4或???4（舍）。

所以P{??4}????42e?2?d???e?2???4?e?8.

4. 有一汽车站有大量汽车通过。设每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001，在某天该

段时间内有1000辆汽车通过，求事故次数不少于2的概率。

解：设事故次数X为随机变量，X~B(1000,0.0001)，因为次数很大，概率很小，所以用泊松

分布近似替代二项分布。??np?0.1，P{X?k}??kk!e??。

P{X?2}?1?P{X?0}?P{X?1}?1?e?0.1?0.1e?0.1?1?1.1e?0.1

5. 公共汽车车门高度是按男子身高与车门顶碰头的机会在0.01以下来设计的，设男子身高服从

N?170,62?(单位：cm)，试确定车门的高度。

2解：设男子身高为Xcm,车门高度为Ycm。X~N170,6

??P{X?Y}?P{即

X?170Y?170X?170Y?170?}?0.01,P{?}?0.99??(2.33) 6666Y?170?2.33，Y?170?13.98?183.98. 6X6. 设X服从标准正态分布，求Y?e的概率密度。

1?x2解：X~N(0,1),?(x)?e。

2?i 当y?0时， FY(y)?P{ex?y}?P{X?lny}?2?lny??1e2??x22dx，

fY(y)?FY(y)?(??lny??1e2??x22dx)??1e2??(lny)22(lny)??21e2?y?(lny)22

?1?(lny)e2,y?0?ii 当y?0时，FY(y)?0，fY(y)?0,故fY(y)??2?

?0,y?0?

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