溜溜球的力学原理

即ac=at.由于at=rB,故有ac=rβ (5) 联立(4)(5)消去β,得Mc=Jac/r=T即acJ/r2=T (6) 把(6)代入(3),整理得ac=g/（1+（J/mr2）） (7) 把(7)代入(5),得β= g/（r+（J/mr）） (8)

如图三所示，根据S=(1/2)at2可计算出YO-YO球单程运动所需要的时间t为，

t=√（2H/ac）=√（2H/g）·√（1+（J/mr2）） (9) 式中H为YO-YO球单程运动的高度。

根据v2-v02=2as可计算出质心C下落的速度vc为,

vc=√2acH=√（2gh/（1+（J/mr2））） (10) 式中h为YO-YO球下落的高度。

因为YO-YO球作纯滚动，所以vc=vt=rω,式中vt为中轴与细绳切点处的切向速度, ω为溜溜球转动的角速度。故有

ω=vc/r=√（2gh/（r2+（J/m））） (11) YO-YO球下落过程中作平面运动，动能为，

T=(1/2)mvc2=(1/2)Jω2 (12)

把(10)(11)代入(12)得

T=(mgh/（1+（J/mr2）））+（Jgh/（r2+（J/m）））=mgh (13)

同理，计算YO-YO球上爬过程中的Vc、ω、mvc2/2、Jω2/2、W动、W势, 也可由此得到(13)式。

(7)(8)(9)(10)(11)说明,YO-YO球的垂直加速ac,速度Vc,运动时间t和转动角加速度β,角速度ω仅仅取决于它的质量m,转动惯量J和中轴半径r。可见,利用不同材料(改变m),不同中轴(改变r)和不同造型(改变J)就可制作出不同类型的YO-YO球。

从(7)式可知,对于某一确定的YO-YO球来说,m,r,J都是确定不变的,即ac=g/（1+（J/mr2））的大小是确定不变的。因此, YO-YO球的平动是匀变速垂直运动。同理,由(8)式可知, YO-YO球的转动是匀变速转动。

(13)式说明, YO-YO球在“上爬下走”运动过程中总机械能是守恒的。

7 对实际运动过程的分析

当YO-YO球自由释放后,立即开始逆缠绕方向竖直下落,重力势能逐渐转换成平动动能和转动动能,随着重力势能的减少,下落的速度越来越快,转动的速度也越来越快。当细绳全部展开后,下落速度和转动速度达到最大值,这时原来的重力势能完全转化为平动动能和转动动能。由于转动惯性的作用,球体继续旋转,但此时细绳已经全部展开, YO-YO球已不可能再往下走,只能按照原来的旋转方向垂直上爬,我

们简称这一过程为“转向”。

YO-YO球在转向过程中,转动动能没有损失,但由于细绳不是完全弹性体,所以平动动能有损失。因此,总机械能减少了, YO-YO球则不能爬上下落时的高度。在转向中,有一部分转动动能转换成了平动动能,以补充损失的平动动能的一部分,使球体获得适当的上爬垂直速度。球体的上爬,是把转向时的平动动能和转动动能逐渐转化为重力势能的过程,亦即随着高度的增加,上爬的垂直速度和转动速度越来越小。当两个速度为零时球体不再上爬。如果要使YO-YO球爬上下落时的高度,就必须在转向过程中,使YO-YO球损失的平动动能得到足够的补充。以获取要爬上下落时的高度所需要的垂直初速度。这就是我们在玩YO-YO球时,在细绳全部展开时就必须迅速上提溜溜球的原因。如果没有上提,球体则不能上爬到下落时的高度。

在此必须指出,以上分析并没有考虑空气的阻尼和细绳的摩擦阻力,二者对YO-YO球的影响是不可忽略的。它们的作用也相应的消耗了一部分机械能。为了使损失的这部分机械能得到补充,我们往往在YO-YO球下落时给以适当的初速度,当球体转向时又向上适当地一提。

参考文献：

1哈工大理论力学教研室编《理论力学1》高等教育出版社 2002 2同济大学论文 何超 “溜溜球中的力学现象”

3 YO-YO球运动过程简析 郭校 李思晴 孙蝶华 百度文库 2010