(优辅资源)北京市西城区高三一模考试数学(理)试题 Word版含答案

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（Ⅲ）求证：对于给定的n以及满足条件的所有填法，Sn的所有取值的奇偶性相同．

西城区高三统一测试

高三数学（理科）参考答案及评分标准

2017.4

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．A 2．A 3．B 4．C 5．D 6．C 7．A 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．40 10．3?2n?1；3?(2n?1) 11．6 1π412．2 13． [,2] 14．；

432注：第10，14题第一空2分，第二空3分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ） 由 atanC?2csinA，

得

分]

由正弦定理得

分]

所以 cosC?分]

因为 C?(0,π)， [ 5

分]

所以 C?分]

（Ⅱ） sinA?sinB?sinA?sin(asinC??2sinA． [ 1ccosCsinAsinC??2sinA． [ 3sinCcosC1． [ 42π． [ 632π?A) [ 7分] 333?sinA?cosA [ 822分]

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π?3sin(A?)． [ 9

6分]

因为 C?分]

π2π， 所以 0?A?， [1033ππ5π， [11分] ?A??6661π所以 ?sin(A?)≤1， [12

26所以

分]

所以 sinA?sinB的取值范围是(16．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）设AC3 [13分] ,3]．

2BD?O，则O为底面正方形ABCD中心．连接PO．

因为 P?ABCD为正四棱锥，

所以 PO?平面ABCD． [ 1分] 所以 PO?AC． [ 2分] 又 BD?AC，且POBD?O， [ 3分]

所以 AC?平面PBD． [ 4分]

（Ⅱ）因为OA，OB，OP两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系O-xyz． [ 5分]

因为 PB?AB，所以 Rt△POB?Rt△AOB．

[ 6分] 所以 OA?OP．设 OA?2．

C(?2,0,0)，D(0,?2,0)，E(0,1,1)，B(0,2,0)，P(0,0,2)，F(0,?1,1)． 所以 A(2,0,0)，

所以 AE?(?2,1,1)，PC?(?2,0,?2)． [ 7

分]

所以 |cos?AE,PC?|?????????????|AE?PC||AE||PC|?????????????3． 63． [ 96即 异面直线PC与AE所成角的余弦值为分]

（Ⅲ）连接AM．

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??????PM设 ??，其中 ??[0,1]，则 PM??PC?(?2?,0,?2?)， [10

PC分]

所以 AM?AP?PM?(?2?2?,0,2?2?)．

设平面AEMF的法向量为n?(x,y,z)，又AF?(?2,?1,1)，所以

????n?AE?0,??????n?AF?0,???????????????2x?y?z?0,即?

?2x?y?z?0.?

所以 y?0．令x?1，z?2，所以n?(1,0,2)． [12

分]

因为 AM?平面AEF，所以n?AM?0， [13

分]

即 ?2?2??2(2?2?)?0， 解得 ??1PM1?． 所以 [14分] ，

3PC3???17．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为20人中答对第5题的人数为4人，因此第5题的实测难度为分]

所以，估计240人中有240?0.2?48人实测答对第5题． [ 3

分]

（Ⅱ）X的可能取值是0，1，2． [ 4分]

21C16C1C21232316C4； P(X?1)?2?； P(X?2)?24?． [ 7P(X?0)?2?95C2019C20C20954?0.2． [ 220分]

X的分布列为：

X P 0 12 191 32 952 3 95 [ 分]

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8

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EX?0?1232338． [10?1??2??19959595分]

（Ⅲ）将抽样的20名学生中第i题的实测难度，作为240名学生第i题的实测难度． 12??P??P2)2? 定义统计量S?[(P11)?(P2n2??P?(Pni为第i题的预估难n)]，其中P度．并规定：若S?0.05，则称本次测试的难度预估合理，否则为不合理． [11分]

1S?[(0.8?0.9)2?(0.8?0.8)2?(0.7?0.7)2?(0.7?0.6)2?(0.2?0.4)2]

5 ?0.012． [12分]

因为 S?0.012?0.05，

所以，该次测试的难度预估是合理的． [13

分]

注：本题答案不唯一，学生可构造其它统计量和临界值来进行判断．如“预估难度与实

测

难度差的平方和”，“预估难度与实测难度差的绝对值的和”，“预估难度与实测难度差的绝 对值的平均值”等，学生只要言之合理即可．

18．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）对f(x)求导数，得f?(x)?ex?x， [ 1分]

所以切线l的斜率为f?(x0)?ex0?x0， [ 2

分]

12由此得切线l的方程为：y?(ex0?x0)?(ex0?x0)(x?x0)，

212即y?(ex0?x0)x?(1?x0)ex0?x0. [ 4

2分]

（Ⅱ）依题意，切线方程中令x?1，

121?(2?x0)(ex0?x0). [ 5得 y?(ex0?x0)?(1?x0)ex0?x022分]

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