江苏省宿迁市马陵中学高三数学专题复习 排列、组合检测题

江苏省宿迁市马陵中学高三数学专题复习 排列、组合检测题

知识梳理

1． 两个计数原理 分类计数原理与分步计数原理，都是关于完成一件事的不同方法种数的问题．

“分类”与“分步”的区别：关键是看事件完成情况，如果每种方法都能将事件完成则是分类；如果必须要连续若干步才能将事件完成则是分步．分类要用分类计数原理将种数相加；分步要用分步计数原理将种数相乘． 2． 排列、组合

(1)排列数公式An＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，An＝

mmn！n*

，An＝n！，0！＝1(n∈N，

n－m！

m∈N*，m≤n)．

(2)组合数公式及性质

mAnnn－1n－2…n－m＋1mCn＝m＝，

Amm！

n！m0mn－mmmm－1

Cn＝，Cm＝1，Cn＝Cn，Cn＋1＝Cn＋Cn.

m！n－m！3． 二项式定理

(1)定理：(a＋b)＝Cna＋Cnan0n1n－1

n－rr－1n－1nn*

b＋…＋Crb＋…＋Cn＋Cnb(n∈N)． nanabrn－rr通项(展开式的第r＋1项)：Tr＋1＝Cna(2)二项式系数的性质

b，其中Crn(r＝0,1，…，n)叫做二项式系数．

①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即 Cn＝Cn，Cn＝Cn，Cn＝Cn，…，Cn＝Cn.

②二项式系数的和等于2，即Cn＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝2.

③二项式展开式中，偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，即Cn＋Cn＋Cn ＋…＝Cn＋Cn＋Cn＋…＝2

0

2

4

1

3

5

0

n1n－12n－2nrn－r012nnn－1

.

(3)赋值法解二项式定理有关问题，如

3＝(1＋2)＝Cn＋Cn·2＋Cn·2＋…＋Cn·2等．

预习练习

1． (2013·山东改编)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为______． 2． (2013·福建改编)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，

2

nn01122nnb)的个数为________．

?22?5

3． (2013·江西改编)?x－3?展开式中的常数项为________．

?

x?

4． (2013·浙江)将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排，且A、B均在C的同侧，则不同的排法共有________

种．(用数字作答)

5． (2013·上海)设常数a∈R，若?x＋?的二项展开式中x项的系数为－10，则a＝______.

x??

2

a?5

7

?

1

典型例题

题型一 计数原理及应用

例1 (1)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为______．

(2)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)

变式训练1 (1)某次活动中，有30人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的

任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为________．(用数字作答) (2)如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要 求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同 的涂色方法共有________种．

题型二 排列组合的应用

例2 (1)(2012·大纲全国)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的

字母也互不相同，则不同的排列方法共有________种．

(2)某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为________．

变式训练2 (1)在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最

后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有________种．

题型三 二项式定理及应用

2?n?例3 (1)若?x＋2?展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是________．

x??

?3x－1?

?n的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中13的系数是________． (2)如果?32??xx??

?1?n变式训练3 已知?＋2x?.

?2?

(1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；

(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．

2

课后练习

一、填空题

1． 从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选

方法共有________种．

2． 现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取2件调整到上层，若其

他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是________．

3． 将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教

师和2名学生组成，不同的安排方案共有________种．

4． 2014年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，

每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有________种．

1?n?

5． 设?5x－?的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系

?x?

数为______．

6． (2012·湖北改编)设a∈Z，且0≤a<13，若51＋a能被13整除，则a的值为________．

?2??21?6

7． 设f(x)是?x＋?展开式的中间项，若f(x)≤mx在区间?，2?上恒成立，则实数m的取值范围是

2x???2?

________．

8． (2013·大纲全国)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有______种．(用数字作答)

?x－1??5的展开式中常数项为A，则A＝________. 9．(2013·浙江)设二项式?3

2 012

??x??

?2?6

10．(2012·上海)在?x－?的二项展开式中，常数项等于________．

?x?

5

5

11．若对于任意实数x，有x＝a0＋a1(x－2)＋…＋a5(x－2)，则a1＋a3＋a5－a0＝________. 二、解答题

5n12．已知(1＋2x)的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的. 6

(1)求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和； (2)求展开式中的有理项．

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